4-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2008 жыл

Центрлері сәйкесінше $O_1$ және $O_2$ болатын, өзара қиылыспайтын $\omega_1$ және $\omega_2$ шеңберлері $l$ түзуін сәйкесінше $A_1$ және $A_2$ нүктелерінде жанайды (шеңберлер $l$ түзуінің бір жағында жатыр). $A_1A_2$ кесіндісінің ортасын $K$ деп белгілейік. $KB_1$ және $KB_2$ түзулері $\omega_1$ және $\omega_2$ шеңберлерін сәйкесінше $B_1$ және $B_2$ нүктелерінде жанайтындай етіп $\omega_1$ және $\omega_2$ шеңберлерінен сәйкесінше $B_1$ және $B_2$ нүктелері алынған ($B_1$ нүктесі $A_1$ нүктесінен өзге, ал $B_2$ нүктесі $A_2$ нүктесінен өзге). $A_1B_1$ және $A_2B_2$ түзулері $L$ нүктесінде, ал $KL$ және $O_1O_2$ түзулері $P$ нүктесінде қиылысады. $B_1$, $B_2$, $P$ және $L$ нүктелері бір шеңбердің бойында жататынын дәлелде.

Комментарий/решение

Докажем, что $L$ лежит на радикальной оси $\omega_1$ и $\omega_2$. Так как $B_1K=A_1K=A_2K=B_2K$, то точки $A_1, A_2, B_1, B_2$ лежат на окружности с центром $K$ и радиусом $A_1K$, скажем $\Omega$. Заметим, что $L$ радикальный центр $\omega_1, \omega_2, \Omega$. Получаем, что $KL$ - радикальная ось окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$. Откуда следует, что $O_1O_2 \bot KL$. Пусть $KO_1\cap A_1B_1=X$, $A_2B_2\cap KO_2=Y$. Легко получить, что $XL\bot KO_1$, откуда можно получить, что $X, O_1, P, L$ лежат на одной окружности. Аналогично $P, O_2, Y, L$ лежат на одной окружности. Тогда $KP\cdot KL=KX\cdot KO_1={KB_1}^2={KA_1}^2\Leftrightarrow \frac{KP}{KB_1}=\frac{KB_1}{KL}$. Значит треугольник $KPB_1$ подобен $KB_1L$. Откуда следует, что $\angle KB_1P=\angle KLB_1$, аналогично $\angle KB_2P=\angle KLB_2$, посчитав уголки можно убедится в том, что $\angle B_1KB_2=180-2\cdot B_1LB_2=180-2\cdot(\angle B_1KL+\angle B_2KL)$, тогда $\angle B_1PB_2=180-\angle B_1LB_2$. Значит $\angle B_1PB_2+\angle B_1LB_2=180$, что и требовалось.