Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2009 год

Задача №1. Рассмотрим следующую операцию на положительных действительных числах, написанных на доске: С доски стирается произвольное число, например

$r$ , а вместо него пишется пара положительных чисел

$a$ и

$b$ , удовлетворяющих следующему условию

$2{{r}^{2}}=ab$ .
Предположим, что в начале на доске было написано одно положительное действительное число

$r$ , и после этого дозволенная операция применялась

${{k}^{2}}-1$ раз. Докажите, что среди полученных

${{k}^{2}}$ положительных действительных чисел (необязательно разных) найдется число, которое не превосходит

$kr$ .
комментарий/решение(1)

Задача №2. Пусть

${{a}_{1}},\ {{a}_{2}},\ {{a}_{3}},\ {{a}_{4}},\ {{a}_{5}}$ — действительные числа, удовлетворяющие следующим равенствам:

$\frac{{{a}_{1}}}{{{k}^{2}}+1}+\frac{{{a}_{2}}}{{{k}^{2}}+2}+\frac{{{a}_{3}}}{{{k}^{2}}+3}+ \frac{{{a}_{4}}}{{{k}^{2}}+4}+\frac{{{a}_{5}}}{{{k}^{2}}+5}=\frac{1}{{{k}^{2}}}$ при

$k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$ . Найдите значение выражения

$\frac{{{a_1}}}{{37}} + \frac{{{a_2}}}{{38}} + \frac{{{a_3}}}{{39}} + \frac{{{a_4}}}{{40}} + \frac{{{a_5}}}{{41}}.$ (Представьте ответ в виде обыкновенной дроби).
комментарий/решение(5)

Задача №3. Пусть на плоскости находятся взаимно непересекающиеся, расположенные внешним образом три окружности

${{\Gamma }_{1}}$ ,

${{\Gamma }_{2}}$ ,

${{\Gamma }_{3}}$ . Для каждой точки

$P$ плоскости, расположенной вне данных окружностей, построим шесть точек

${{A}_{1}}$ ,

${{B}_{1}}$ ,

${{A}_{2}}$ ,

${{B}_{2}}$ ,

${{A}_{3}}$ ,

${{B}_{3}}$ по следующему правилу: При всех

$i=1,\ 2,\ 3$ точки

${{A}_{i}}$ ,

${{B}_{i}}$ являются различными точками окружности

${{\Gamma }_{i}}$ такие, что прямые

$P{{A}_{i}}$ и

$P{{B}_{i}}$ касаются окружности

${{\Gamma }_{i}}$ . Назовем точку

$P$ исключительной, если соответствующие ей прямые

${{A}_{1}}{{B}_{1}}$ ,

${{A}_{2}}{{B}_{2}}$ ,

${{A}_{3}}{{B}_{3}}$ пересекаются в одной точке. Докажите, что все исключительные точки плоскости, если существуют, расположены на одной окружности.
комментарий/решение(1)

Задача №4. Докажите, что для любого натурального числа

$k$ существует арифметическая прогрессия

$\frac{{{a}_{1}}}{{{b}_{1}}}$ ,

$\frac{{{a}_{2}}}{{{b}_{2}}}$ ,

$\dots$ ,

$\frac{{{a}_{k}}}{{{b}_{k}}}$ рациональных чисел, где

${{a}_{i}}$ ,

${{b}_{i}}$ — взаимно простые натуральные числа, при всех

$i=1,\ 2,\ ...,\ k$ , и все числа

${{a}_{1}}$ ,

${{b}_{1}}$ ,

${{a}_{2}}$ ,

${{b}_{2}}$ ,

$\dots$ ,

${{a}_{k}}$ ,

${{b}_{k}}$ — различные.
комментарий/решение

Задача №5. Ларри и Роб — два робота, которые едут в одном автомобиле из Арговы в Зилис. Роботы управляют автомобилем по следующему алгоритму: Ларри поворачивает влево на

$90^\circ$ каждые

$\ell$ километров, начиная от старта; а Роб поворачивает вправо на

$90^\circ$ каждые

$r$ километров, начиная от старта, причем

$\ell$ и

$r$ — взаимно простые натуральные числа. В случае, когда оба робота должны одновременно повернуть машину — автомобиль двигается без изменения направления. Предполагается, что поверхность плоская и неограниченная.
Пусть автомобиль стартует из Арговы в направлении к Зилис. При каких парах

$(\ell, r )$ автомобиль гарантированно доедет до Зилиса, независимо от расстояния между этими городами?
комментарий/решение

результаты