Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2009 год

Пусть на плоскости находятся взаимно непересекающиеся, расположенные внешним образом три окружности ${{\Gamma }_{1}}$, ${{\Gamma }_{2}}$,${{\Gamma }_{3}}$. Для каждой точки $P$ плоскости, расположенной вне данных окружностей, построим шесть точек ${{A}_{1}}$, ${{B}_{1}}$, ${{A}_{2}}$, ${{B}_{2}}$, ${{A}_{3}}$, ${{B}_{3}}$ по следующему правилу: При всех $i=1,\ 2,\ 3$ точки ${{A}_{i}}$, ${{B}_{i}}$ являются различными точками окружности ${{\Gamma }_{i}}$ такие, что прямые $P{{A}_{i}}$ и $P{{B}_{i}}$ касаются окружности ${{\Gamma }_{i}}$. Назовем точку $P$ исключительной, если соответствующие ей прямые ${{A}_{1}}{{B}_{1}}$, ${{A}_{2}}{{B}_{2}}$, ${{A}_{3}}{{B}_{3}}$ пересекаются в одной точке. Докажите, что все исключительные точки плоскости, если существуют, расположены на одной окружности.

Комментарий/решение

Примем следующие обозначения$:$

$1)$ $O_i$ $-$ центр описанной окружности $\Gamma_i.$

$2)$ $X_i,Y_i$ $-$ середины $PA_i,PB_i$ соответственно$.$

$3)$ $R_i$ $-$ радиус окружности $\Gamma_i.$

Поскольку прямые $A_iB_i$ пересекаются в одной точке $Q$, то прямые $X_iY_i$ тоже пересекаются в одной точке $O$ $-$ середина отрезка $PQ.$

Очевидно, что прямая $X_iY_i$ радикальная ось окружности $\Gamma_i$ и точки $P.$ В следствии получаем

$$OP^2=OO_1^2-R_1^2 =OO_2^2-R_2^2=OO_3^2-R_3^2,$$

но это значит, что $O$ $-$ радикальный центр окружностей $\Gamma_i$ $,$ откуда точка $O$ константа. Следовательно длина отрезка $OP$ тоже константа. Откуда следует требуемое.

Примечание: здесь $i=1,2,3.$