Processing math: 100%

Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2009 жыл


Жазықтықта өзара қиылыспайтын Γ1, Γ2, Γ3 шеңберлері өзара сырттай орналасқан. Осы шеңберлердің сыртында орналасқан жазықтықтың кез келген P нүктесі үшін A1, B1, A2, B2, A3, B3 нүктелері былайша анықталған: әрбір i=1,2,3 үшін P нүктесінен Γi шеңберіне түсірілген PAi және PBi жанамалары Γi шеңберін әртүрлі Ai, Bi нүктелерінде жанайды. Егер A1B1, A2B2, A3B3 түзулері бір нүктеде қиылысса, онда P нүктесін айрықша деп атаймыз. Егер айрықша нүктелер бар болса, онда олардың барлығы бір шеңбердің бойында жататынын дәлелде.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   1
4 года 7 месяца назад #

Примем следующие обозначения:

1) Oi центр описанной окружности Γi.

2) Xi,Yi середины PAi,PBi соответственно.

3) Ri радиус окружности Γi.

Поскольку прямые AiBi пересекаются в одной точке Q, то прямые XiYi тоже пересекаются в одной точке O середина отрезка PQ.

Очевидно, что прямая XiYi радикальная ось окружности Γi и точки P. В следствии получаем

OP2=OO21R21=OO22R22=OO23R23,

но это значит, что O радикальный центр окружностей Γi , откуда точка O константа. Следовательно длина отрезка OP тоже константа. Откуда следует требуемое.

Примечание: здесь i=1,2,3.