Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2009 жыл

Жазықтықта өзара қиылыспайтын ${{\Gamma }_{1}}$, ${{\Gamma }_{2}}$, ${{\Gamma }_{3}}$ шеңберлері өзара сырттай орналасқан. Осы шеңберлердің сыртында орналасқан жазықтықтың кез келген $P$ нүктесі үшін ${{A}_{1}}$, ${{B}_{1}}$, ${{A}_{2}}$, $ {{B}_{2}}$, ${{A}_{3}}$, ${{B}_{3}}$ нүктелері былайша анықталған: әрбір $i=1,2,3$ үшін $P$ нүктесінен ${{\Gamma }_{i}}$ шеңберіне түсірілген $P{{A}_{i}}$ және $P{{B}_{i}}$ жанамалары ${{\Gamma }_{i}}$ шеңберін әртүрлі ${{A}_{i}},\ {{B}_{i}}$ нүктелерінде жанайды. Егер ${{A}_{1}}{{B}_{1}}$, ${{A}_{2}}{{B}_{2}}$, $ {{A}_{3}}{{B}_{3}}$ түзулері бір нүктеде қиылысса, онда $P$ нүктесін айрықша деп атаймыз. Егер айрықша нүктелер бар болса, онда олардың барлығы бір шеңбердің бойында жататынын дәлелде.

Комментарий/решение

Примем следующие обозначения$:$

$1)$ $O_i$ $-$ центр описанной окружности $\Gamma_i.$

$2)$ $X_i,Y_i$ $-$ середины $PA_i,PB_i$ соответственно$.$

$3)$ $R_i$ $-$ радиус окружности $\Gamma_i.$

Поскольку прямые $A_iB_i$ пересекаются в одной точке $Q$, то прямые $X_iY_i$ тоже пересекаются в одной точке $O$ $-$ середина отрезка $PQ.$

Очевидно, что прямая $X_iY_i$ радикальная ось окружности $\Gamma_i$ и точки $P.$ В следствии получаем

$$ OP^2=OO_1^2-R_1^2 =OO_2^2-R_2^2=OO_3^2-R_3^2, $$

но это значит, что $O$ $-$ радикальный центр окружностей $\Gamma_i$ $,$ откуда точка $O$ константа. Следовательно длина отрезка $OP$ тоже константа. Откуда следует требуемое.

Примечание: здесь $i=1,2,3.$