Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2009 жыл
Жазықтықта өзара қиылыспайтын Γ1, Γ2, Γ3 шеңберлері өзара сырттай орналасқан. Осы шеңберлердің сыртында орналасқан жазықтықтың кез келген P нүктесі үшін A1, B1, A2, B2, A3, B3 нүктелері былайша анықталған: әрбір i=1,2,3 үшін P нүктесінен Γi шеңберіне түсірілген PAi және PBi жанамалары Γi шеңберін әртүрлі Ai, Bi нүктелерінде жанайды. Егер A1B1, A2B2, A3B3 түзулері бір нүктеде қиылысса, онда P нүктесін айрықша деп атаймыз. Егер айрықша нүктелер бар болса, онда олардың барлығы бір шеңбердің бойында жататынын дәлелде.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Примем следующие обозначения:
1) Oi − центр описанной окружности Γi.
2) Xi,Yi − середины PAi,PBi соответственно.
3) Ri − радиус окружности Γi.
Поскольку прямые AiBi пересекаются в одной точке Q, то прямые XiYi тоже пересекаются в одной точке O − середина отрезка PQ.
Очевидно, что прямая XiYi радикальная ось окружности Γi и точки P. В следствии получаем
OP2=OO21−R21=OO22−R22=OO23−R23,
но это значит, что O − радикальный центр окружностей Γi , откуда точка O константа. Следовательно длина отрезка OP тоже константа. Откуда следует требуемое.
Примечание: здесь i=1,2,3.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.