Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2009 год

Рассмотрим следующую операцию на положительных действительных числах, написанных на доске: С доски стирается произвольное число, например $r$, а вместо него пишется пара положительных чисел $a$ и $b$, удовлетворяющих следующему условию $2{{r}^{2}}=ab$.
Предположим, что в начале на доске было написано одно положительное действительное число $r$, и после этого дозволенная операция применялась ${{k}^{2}}-1$ раз. Докажите, что среди полученных ${{k}^{2}}$ положительных действительных чисел (необязательно разных) найдется число, которое не превосходит $kr$.

Комментарий/решение

Лемма: Если $2c^2=ab,$ где $a,b,c\in\mathbb {R^+},$ то $$\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\ge\dfrac{1}{c^2}$$

Доказательство: Условие равносильно следующему: $$\dfrac{1}{c^2}=\dfrac{2}{ab}$$ Откуда из $AM\ge GM$ получаем $$\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\ge \dfrac{2}{ab}=\dfrac{1}{c^2};$$

$\\$

Вернемся к задаче. Пусть на доске остались числа $a_1,a_2,\ldots,a_{k^2}.$ Примем, что наименьшее из них равно $s.$

Из Леммы следует, что $$\dfrac{1}{r^2}\le \dfrac{1}{a_1^2}+\ldots+\dfrac{1}{a_{k^2}^2}\le k^2\cdot \dfrac{1}{s^2}\implies s\le kr.\quad\square$$