Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2009 жыл

Тақтада жазылған оң нақты сандарға мынадай амал қолдануға болады: Тақтадағы кез келген санды, айталық $r$ санын, өшіріп, оның орнына $2{{r}^{2}}=ab$ теңдігін қанағаттаныдратын оң а және b сандар жұбын жазуға болады. Алғашқыда тақтаға тек қана оң нақты $r$ саны жазылған, сонан соң жоғарыда айтылған амал ${{k}^{2}}-1$ рет қолданылып, оң нақты ${{k}^{2}}$ сан алынған. Олардың арасынан $kr$-ден аспайтын сан табылатынын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Лемма: Если $2c^2=ab,$ где $a,b,c\in\mathbb {R^+},$ то $$\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\ge\dfrac{1}{c^2}$$

Доказательство: Условие равносильно следующему: $$\dfrac{1}{c^2}=\dfrac{2}{ab}$$ Откуда из $AM\ge GM$ получаем $$\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\ge \dfrac{2}{ab}=\dfrac{1}{c^2};$$

$\\$

Вернемся к задаче. Пусть на доске остались числа $a_1,a_2,\ldots,a_{k^2}.$ Примем, что наименьшее из них равно $s.$

Из Леммы следует, что $$\dfrac{1}{r^2}\le \dfrac{1}{a_1^2}+\ldots+\dfrac{1}{a_{k^2}^2}\le k^2\cdot \dfrac{1}{s^2}\implies s\le kr.\quad\square$$