Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2009 жыл

Есеп №1. Тақтада жазылған оң нақты сандарға мынадай амал қолдануға болады: Тақтадағы кез келген санды, айталық $r$ санын, өшіріп, оның орнына $2{{r}^{2}}=ab$ теңдігін қанағаттаныдратын оң а және b сандар жұбын жазуға болады. Алғашқыда тақтаға тек қана оң нақты $r$ саны жазылған, сонан соң жоғарыда айтылған амал ${{k}^{2}}-1$ рет қолданылып, оң нақты ${{k}^{2}}$ сан алынған. Олардың арасынан $kr$-ден аспайтын сан табылатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Нақты ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, ${{a}_{3}}$, ${{a}_{4}}$, ${{a}_{5}}$ сандары әрбір $k=1,2,3,4,5$ үшін төмендегі теңдікті қанағаттандырсын: $$\dfrac{{{a}_{1}}}{{{k}^{2}}+1}+\dfrac{{{a}_{2}}}{{{k}^{2}}+2}+\dfrac{{{a}_{3}}}{{{k}^{2}}+3}+\dfrac{{{a}_{4}}}{{{k}^{2}}+4}+\dfrac{{{a}_{5}}}{{{k}^{2}}+5}=\dfrac{1}{{{k}^{2}}}.$$ Онда $\dfrac{{{a}_{1}}}{37}+\dfrac{{{a}_{2}}}{38}+\dfrac{{{a}_{3}}}{39}+\dfrac{{{a}_{4}}}{40}+\dfrac{{{a}_{5}}}{41}$ өрнегінін мәнін тап (жауабын жай бөлшек түрінде жаз).
комментарий/решение(5)

Есеп №3. Жазықтықта өзара қиылыспайтын ${{\Gamma }_{1}}$, ${{\Gamma }_{2}}$, ${{\Gamma }_{3}}$ шеңберлері өзара сырттай орналасқан. Осы шеңберлердің сыртында орналасқан жазықтықтың кез келген $P$ нүктесі үшін ${{A}_{1}}$, ${{B}_{1}}$, ${{A}_{2}}$, $ {{B}_{2}}$, ${{A}_{3}}$, ${{B}_{3}}$ нүктелері былайша анықталған: әрбір $i=1,2,3$ үшін $P$ нүктесінен ${{\Gamma }_{i}}$ шеңберіне түсірілген $P{{A}_{i}}$ және $P{{B}_{i}}$ жанамалары ${{\Gamma }_{i}}$ шеңберін әртүрлі ${{A}_{i}},\ {{B}_{i}}$ нүктелерінде жанайды. Егер ${{A}_{1}}{{B}_{1}}$, ${{A}_{2}}{{B}_{2}}$, $ {{A}_{3}}{{B}_{3}}$ түзулері бір нүктеде қиылысса, онда $P$ нүктесін айрықша деп атаймыз. Егер айрықша нүктелер бар болса, онда олардың барлығы бір шеңбердің бойында жататынын дәлелде.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Кез келген $k$ натурал саны үшін арифметикалық прогрессия құрайтын $\dfrac{{{a}_{1}}}{{{b}_{1}}}$, $\dfrac{{{a}_{2}}}{{{b}_{2}}},$ $\ldots$, $\dfrac{{{a}_{k}}}{{{b}_{k}}}$ рационал сандар тізбегі табылатынын дәлелде, мұндағы әрбір $i=1,2,\ldots,k$ үшін ${{a}_{i}}$, ${{b}_{i}}$ — өзара жай натурал сандар және ${{a}_{1}}$, ${{b}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, ${{b}_{2}}$, $\ldots$, ${{a}_{k}}$, ${{b}_{k}}$ — әртүрлі сандар.
комментарий/решение

Есеп №5. Екі робот — Ларри және Роб — бір автомобильде Арговадан Зилисқа кетіп барады. Олар автомобильді келесі алгоритм бойынша жүргізеді: Ларри автомобильді старттан кейінгі әрбір $l$ км-ден кейін $90{}^\circ $-қа солға бұрып отырады, ал Роб — старттан кейін әрбір $r$ км.-ден кейін $90{}^\circ $-қа оңға бұрып отырады. Мұндағы $l$ және $r$ — өзара жай натурал сандар. Екі робот та бір мезгілде бұру керек болғанда, автомобиль бағытын өзгертпейді. Жер беті шексіз жазықтық деп есептелсін. Автомобиль Арговадан шығып Зилиске бағыт алды. Қандай ${(l, r)}$ жұптары үшін екі қаланың ара қашықтығы қандай болғанына қарамастан автомобиль Зилис қаласына міндетті түрде жетеді?
комментарий/решение

результаты