Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2009 жыл

Есеп №1. Тақтада жазылған оң нақты сандарға мынадай амал қолдануға болады: Тақтадағы кез келген санды, айталық

$r$ санын, өшіріп, оның орнына

$2{{r}^{2}}=ab$ теңдігін қанағаттаныдратын оң а және b сандар жұбын жазуға болады. Алғашқыда тақтаға тек қана оң нақты

$r$ саны жазылған, сонан соң жоғарыда айтылған амал

${{k}^{2}}-1$ рет қолданылып, оң нақты

${{k}^{2}}$ сан алынған. Олардың арасынан

$kr$ -ден аспайтын сан табылатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Нақты

${{a}_{1}}$ ,

${{a}_{2}}$ ,

${{a}_{3}}$ ,

${{a}_{4}}$ ,

${{a}_{5}}$ сандары әрбір

$k=1,2,3,4,5$ үшін төмендегі теңдікті қанағаттандырсын:

$\dfrac{{{a}_{1}}}{{{k}^{2}}+1}+\dfrac{{{a}_{2}}}{{{k}^{2}}+2}+\dfrac{{{a}_{3}}}{{{k}^{2}}+3}+\dfrac{{{a}_{4}}}{{{k}^{2}}+4}+\dfrac{{{a}_{5}}}{{{k}^{2}}+5}=\dfrac{1}{{{k}^{2}}}.$ Онда

$\dfrac{{{a}_{1}}}{37}+\dfrac{{{a}_{2}}}{38}+\dfrac{{{a}_{3}}}{39}+\dfrac{{{a}_{4}}}{40}+\dfrac{{{a}_{5}}}{41}$ өрнегінін мәнін тап (жауабын жай бөлшек түрінде жаз).
комментарий/решение(5)

Есеп №3. Жазықтықта өзара қиылыспайтын

${{\Gamma }_{1}}$ ,

${{\Gamma }_{2}}$ ,

${{\Gamma }_{3}}$ шеңберлері өзара сырттай орналасқан. Осы шеңберлердің сыртында орналасқан жазықтықтың кез келген

$P$ нүктесі үшін

${{A}_{1}}$ ,

${{B}_{1}}$ ,

${{A}_{2}}$ ,

${{B}_{2}}$ ,

${{A}_{3}}$ ,

${{B}_{3}}$ нүктелері былайша анықталған: әрбір

$i=1,2,3$ үшін

$P$ нүктесінен

${{\Gamma }_{i}}$ шеңберіне түсірілген

$P{{A}_{i}}$ және

$P{{B}_{i}}$ жанамалары

${{\Gamma }_{i}}$ шеңберін әртүрлі

${{A}_{i}},\ {{B}_{i}}$ нүктелерінде жанайды. Егер

${{A}_{1}}{{B}_{1}}$ ,

${{A}_{2}}{{B}_{2}}$ ,

${{A}_{3}}{{B}_{3}}$ түзулері бір нүктеде қиылысса, онда

$P$ нүктесін айрықша деп атаймыз. Егер айрықша нүктелер бар болса, онда олардың барлығы бір шеңбердің бойында жататынын дәлелде.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Кез келген

$k$ натурал саны үшін арифметикалық прогрессия құрайтын

$\dfrac{{{a}_{1}}}{{{b}_{1}}}$ ,

$\dfrac{{{a}_{2}}}{{{b}_{2}}},$

$\ldots$ ,

$\dfrac{{{a}_{k}}}{{{b}_{k}}}$ рационал сандар тізбегі табылатынын дәлелде, мұндағы әрбір

$i=1,2,\ldots,k$ үшін

${{a}_{i}}$ ,

${{b}_{i}}$ — өзара жай натурал сандар және

${{a}_{1}}$ ,

${{b}_{1}}$ ,

${{a}_{2}}$ ,

${{b}_{2}}$ ,

$\ldots$ ,

${{a}_{k}}$ ,

${{b}_{k}}$ — әртүрлі сандар.
комментарий/решение

Есеп №5. Екі робот — Ларри және Роб — бір автомобильде Арговадан Зилисқа кетіп барады. Олар автомобильді келесі алгоритм бойынша жүргізеді: Ларри автомобильді старттан кейінгі әрбір

$l$ км-ден кейін

$90{}^\circ$ -қа солға бұрып отырады, ал Роб — старттан кейін әрбір

$r$ км.-ден кейін

$90{}^\circ$ -қа оңға бұрып отырады. Мұндағы

$l$ және

$r$ — өзара жай натурал сандар. Екі робот та бір мезгілде бұру керек болғанда, автомобиль бағытын өзгертпейді. Жер беті шексіз жазықтық деп есептелсін. Автомобиль Арговадан шығып Зилиске бағыт алды. Қандай

${(l, r)}$ жұптары үшін екі қаланың ара қашықтығы қандай болғанына қарамастан автомобиль Зилис қаласына міндетті түрде жетеді?
комментарий/решение

результаты