XII математическая олимпиада «Шелковый путь», 2013 год

Задача №1.  Определите все пары натуральных чисел $m, n,$ удовлетворяющих равенству $(2^m + 1, 2^n + 1) = 2^{(m, n)} + 1.$ Здесь $(a, b)$ — это наибольший общий делитель чисел $a, b$. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Окружность с центром $I$, вписанная в треугольник $ABC$, касается сторон $BC$ и $AC$ в точках $A_1$ и $B_1$, соответственно. На лучах $A_1I$ и $B_1I$, соответственно, взяты точки $A_2$ и $B_2$ такие, что $IA_2=IB_2=R$, где $R$ — радиус описанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что
a) $AA_2 = BB_2 = OI$, где $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$;
b) прямые $AA_2$ и $BB_2$ пересекаются на описанной окружности треугольника $ABC$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Пусть $\mathbf{N}$ — множество натуральных чисел. Определите все неубывающие функции $f: \mathbf{N} \to \mathbf{N}$ такие, что для любых натуральных чисел $m, n$ выполнено равенство $f(f(m) \cdot f(n) + m) = f(mf(n))+ f(m).$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  В фильме есть $n$ ролей. Для каждого $i$ ($1 \le i \le n$), роль номер $i$ могут сыграть $a_i$ человек, причем один человек может играть только одну роль. Ежедневно проводится кастинг, в котором участвуют люди из $n$ ролей, причем от каждой роли только один человек. Пусть $p$ простое число такое, что $p \ge a_1, \ldots, a_n, n$. Докажите, что можно провести $p^k$ кастингов таких, что если взять любые $k$ человек, которые снимаются в разных ролях, то они вместе участвовали в каком-то кастинге ($k$ натуральное число, не превосходящее $n$).
комментарий/решение(1)

---