13-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2013 жыл

Есеп №1.

$({{2}^{m}}+{{1,2}^{n}}+1)={{2}^{(m,n)}}+1$ шартын қанағаттандыратын барлық натурал

$(m; n)$ жұптарын табыңыздар. Бұл жерде

$(a,b)$ — натурал

$a$ және

$b$ сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Центрі

$I$ болатын,

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер,

$BC$ және

$AC$ қабырғаларын сәйкесінше

$A_1$ және

$B_1$ нүктелерінде жанасын.

$A_1I$ және

$B_1I$ сәулелерінде

$IA_2=IB_2=R$ болатындай сәйкесінше

$A_2$ және

$B_2$ нүктелері алынған, бұл жерде

$R$ —

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер радиусы. Олай болса:
a)

$A{{A}_{2}}=B{{B}_{2}}=OI$ , бұл жерде

$O$ —

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі;
b)

$A{{A}_{2}}$ және

$B{{B}_{2}}$ түзулері

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер бойында қиылысатынын дәлелдеңдер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$N$ — натурал сандар жиыны болсын. Кез келген натурал

$m$ ,

$n$ сандары үшін

$f(f(m)f(n)+m)=f(mf(n))+f(m)$ шартын қанағаттандыратын барлық кемімейтін

$f: \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ функцияларын табыңыздар. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Фильмде

$n$ рөл бар. Әр

$i$ үшін

$(1\le i\le n)$ ,

$i$ рөлін

${{a}_{i}}$ адам ойнай алады және де бір адам тек бір ғана рөл ойнай алады. Әр күн сайын

$n$ рөлдің адамдары кастингке қатысады, және әр рөлден тек бір адам қатысады. Жай

$p$ саны

$p \ge {{a}_{1}}$ ,

${{a}_{2}}$ ,

$\ldots$ ,

${{a}_{n}}$ ,

$n$ болатындай сан болсын. Егер әр түрлі рөлдерде ойнайтын кез келген

$k$ адам алсақ, олар қандай да бір кастингке бірге қатысатындай

${{p}^{k}}$ кастинг өткізуге болатынын дәлелдеңдер (

$k$ саны

$n$ -нен аспайтын натурал сан).
комментарий/решение(1)

результаты