13-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2013 жыл

Есеп №1. $({{2}^{m}}+{{1,2}^{n}}+1)={{2}^{(m,n)}}+1$ шартын қанағаттандыратын барлық натурал $(m; n)$ жұптарын табыңыздар. Бұл жерде $(a,b)$ — натурал $a$ және $b$ сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Центрі $I$ болатын, $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер, $BC$ және $AC$ қабырғаларын сәйкесінше $A_1$ және $B_1$ нүктелерінде жанасын. $A_1I$ және $B_1I$ сәулелерінде $IA_2=IB_2=R$ болатындай сәйкесінше $A_2$ және $B_2$ нүктелері алынған, бұл жерде $R$ — $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер радиусы. Олай болса:
a) $A{{A}_{2}}=B{{B}_{2}}=OI$, бұл жерде $O$ — $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі;
b) $A{{A}_{2}}$ және $B{{B}_{2}}$ түзулері $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер бойында қиылысатынын дәлелдеңдер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. $N$ — натурал сандар жиыны болсын. Кез келген натурал $m$, $n$ сандары үшін $f(f(m)f(n)+m)=f(mf(n))+f(m)$ шартын қанағаттандыратын барлық кемімейтін $f: \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ функцияларын табыңыздар. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. Фильмде $n$ рөл бар. Әр $i$ үшін $(1\le i\le n)$, $i$ рөлін ${{a}_{i}}$ адам ойнай алады және де бір адам тек бір ғана рөл ойнай алады. Әр күн сайын $n$ рөлдің адамдары кастингке қатысады, және әр рөлден тек бір адам қатысады. Жай $p$ саны $p \ge {{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots$, ${{a}_{n}}$, $n$ болатындай сан болсын. Егер әр түрлі рөлдерде ойнайтын кез келген $k$ адам алсақ, олар қандай да бір кастингке бірге қатысатындай ${{p}^{k}}$ кастинг өткізуге болатынын дәлелдеңдер ($k$ саны $n$-нен аспайтын натурал сан).
комментарий/решение(1)

---