13-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2013 жыл
Есеп №1. (2m+1,2n+1)=2(m,n)+1 шартын қанағаттандыратын барлық натурал (m;n) жұптарын табыңыздар. Бұл жерде (a,b) — натурал a және b сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші.
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Центрі I болатын, ABC үшбұрышына іштей сызылған шеңбер, BC және AC қабырғаларын сәйкесінше A1 және B1 нүктелерінде жанасын. A1I және B1I сәулелерінде IA2=IB2=R болатындай сәйкесінше A2 және B2 нүктелері алынған, бұл жерде R — ABC үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер радиусы. Олай болса:
a) AA2=BB2=OI, бұл жерде O — ABC үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі;
b) AA2 және BB2 түзулері ABC үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер бойында қиылысатынын дәлелдеңдер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)
a) AA2=BB2=OI, бұл жерде O — ABC үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі;
b) AA2 және BB2 түзулері ABC үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер бойында қиылысатынын дәлелдеңдер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)
Есеп №3. N — натурал сандар жиыны болсын. Кез келген натурал m, n сандары үшін f(f(m)f(n)+m)=f(mf(n))+f(m) шартын қанағаттандыратын барлық кемімейтін f:N→N функцияларын табыңыздар.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Фильмде n рөл бар. Әр i үшін (1≤i≤n), i рөлін ai адам ойнай алады және де бір адам тек бір ғана рөл ойнай алады. Әр күн сайын n рөлдің адамдары кастингке қатысады, және әр рөлден тек бір адам қатысады. Жай p саны p≥a1, a2, …, an, n болатындай сан болсын. Егер әр түрлі рөлдерде ойнайтын кез келген k адам алсақ, олар қандай да бір кастингке бірге қатысатындай pk кастинг өткізуге болатынын дәлелдеңдер (k саны n-нен аспайтын натурал сан).
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)