Леонард Эйлер атындағы олимпиада,
2011-2012 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 1-ші туры

Есеп №1. $ABC$ үшбұрышының $BC$ қабырғасынан $AD$ түзуінің орта перпендикуляры $ABC$ үшбұрышының іштей сызылған шеңберінің центрі арқылы өтетіндей $D$ нүктесі алынған. Ондай болса, сол орта сызық $ABC$ үшбұрышының төбесі арқылы өтетінін дәлелде. ( Л. Емельянов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Олег пен Сергей солдан оңға қарай кезектесіп бір цифрдан тоғыз таңбалы сан болғанша жазады. Сонымен қатар, жазылып қойған цифрды қайтадан жазуға болмайды. Ойынды Олег бастайды (және аяқтайды). Егер соңғы жүрістен кейін пайда болған сан 4-ке бөлінсе Олег жеңеді, кері жағдайда Сергей жеңеді. Дұрыс ойында кім ұтады? ( Р. Женодаров, О. Дмитриев )
комментарий/решение(2)

---

Есеп №3. $2012 \times 2012$ тақтасының әр шаршысына нөл немесе бір саны жазылған, және де әр қатарда да, бағанда да нөл саны да, бір саны да бар. Екі қатардан және екі бағаннан құралған тіктөртбұрыштың бір диагоналінің соңында нөлдер, екіншісінде бірліктер болатындай екі қатар мен екі бағана табылатының дәлелде. ( И. Рубанов, методкомиссия )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. Бір біріне қосқанда (бір бірін жаппайтындай), қабырға саны 3-тен 100-ге дейінгі кез келген көпбұрыш ала алатындай екі көпбұрыш (көпбұрыш дөңес емес болуы мүмкін) табылады ма? ( И. Богданов, С. Волчёнков, С. Берлов )
комментарий/решение(1)

---