Республиканская олимпиада по математике, 2008 год, 11 класс

Задача №1. Для натурального числа

$k$ обозначим через

$F_k$ — множество всех связанных плоских фигур, состоящих ровно из

$k$ единичных клеток. Для произвольной плоской фигуры

$f$ через

$S(f)$ обозначим наименьшую возможную площадь прямоугольника, содержащего внутри себя

$f$ . Для заданного

$n$ натурального определите

$\mathop {\max }\limits_{f \in F_n } S\left( f \right)$ . ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение

Задача №2. Вневписанная окружность с центром

$I_b$ касается стороны

$AC$ и продолжении сторон

$BC$ и

$BA$ треугольника

$ABC$ . Обозначим через

$B_1$ середину дуги

$AC$ описанной окружности треугольника

$ABC$ , содержащую вершину

$B$ , а через

$B_2$ — основание внешней биссектрисы угла

$B$ . Докажите, что прямая

$B_2I$ перпендикулярна прямой

$B_1I_b$ , где

$I$ — центр вписанной окружности

$ABC$ .
комментарий/решение(6)

Задача №3. Дан многочлен

$f(x,y,z)$ с целочисленными коэффициентами (от трех переменных

$x, y, z$ ) такой, что

$f(x, y, z)=-f(z, y, x)=-f(z, y, x)=-f(y, x, z).$ Докажите, что

$f(a, b, c)$ — четное число для любых целых чисел

$a, b, c$ .
комментарий/решение(3)

Задача №4. Найдите все последовательности целых чисел

$a_1 ,a_2 ,a_3 , \ldots,a_{2008}$ , удовлетворяющих уравнению

$\left( {2008 - a_1 } \right)^2 + \left( {a_1 - a_2 } \right)^2 + \ldots + \left( {a_{2007} - a_{2008} } \right)^2 + a_{2008} ^2 = 2008.$
комментарий/решение(1)

Задача №5. На стороне

$AB$ треугольника

$ABC$ выбрана точка

$K$ . Продолжение стороны

$AC$ (за точку

$C$ ) и касательная из точки

$K$ к вписанной окружности треугольника

$ABC$ пересекаются в точке

$N$ . Проведена окружность

$\omega$ , касающаяся сторон

$AC$ ,

$AB$ и описанной окружности треугольника

$AKN$ . Доказать, что описанная окружность треугольника

$ABC$ касается

$\omega$ .
комментарий/решение

Задача №6. Какое максимальное число плоскостей в пространстве можно выбрать так, чтобы нашлось 6 точек, удовлетворяющих следующим условиям:
а) на каждой из выбранных плоскостей находится не менее 4 из этих точек;
б) никакие 4 их этих точек не лежат на одной прямой?
комментарий/решение(1)