Республиканская олимпиада по математике, 2008 год, 11 класс

Найдите все последовательности целых чисел $a_1 ,a_2 ,a_3 , \ldots,a_{2008}$, удовлетворяющих уравнению $$\left( {2008 - a_1 } \right)^2 + \left( {a_1 - a_2 } \right)^2 + \ldots + \left( {a_{2007} - a_{2008} } \right)^2 + a_{2008} ^2 = 2008.$$

Комментарий/решение

Заметим, что $|x_{1}|+|x_{2}|+....+|x_{k}| \geq x_{1}+x_{2}+....+x_{k}, k \in N$. Тогда мы можем применить неравенство Коши-Шварца-Буняковского: $$2008^2 = 2008((2008-a_{1})^2+(a_{1}-a_{2})^2+....+(a_{2007}-a_{2008})^2+a_{2008}^2) = (1 + 1 + .... + 1)((2008-a_{1})^2+(a_{1}-a_{2})^2+....+(a_{2007}-a_{2008})^2+a_{2008}^2) \geq (|2008 - a_{1}| + |a_{1} - a_{2}| + .... + |a_{2007} - a_{2008}| + |a_{2008}|)^2 \geq (2008 - a_{1} + a_{1} - a_{2} + .... + a_{2007} - a_{2008} + a_{2008})^2 = 2008^2$$ Значит во всех неравенствах равенство. Тогда выполняется, что $2008$ чисел из $(2008-a_{1})^2, (a_{1}-a_{2})^2, ....,(a_{2007}-a_{2008})^2, a_{2008}^2$ равны $1$, а одно равно $0$. Также выполняются равенства $|2008-a_{1}| = 2008-a_{1}, |a_{1}-a_{2}| = a_{1}-a_{2}, |a_{2007}-a_{2008}| = a_{2007}-a_{2008}, |a_{2008}| = a_{2008}$. Значит $2008$ из $2008-a_{1}, a_{1}-a_{2}, ....,a_{2007}-a_{2008}, a_{2008}$ равны $1$, а оставшийся $0$. Всего может быть $2009$ различных последовательностей:$2007,2006,....,0$ или $2007$, $2008, 2007, ...., 1$ или $2007$ последовательностей вида $2007,......., 1$ где ровно одно число встречается два раза.