Республиканская олимпиада по математике, 2008 год, 11 класс
Дан многочлен f(x,y,z) с целочисленными коэффициентами (от трех переменных x,y,z) такой, что
f(x,y,z)=−f(z,y,x)=−f(z,y,x)=−f(y,x,z).
Докажите, что f(a,b,c) — четное число для любых целых чисел a,b,c.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть P(x,y,z) будет данное равенство. Тогда при P(z,x,y): f(y,x,z)=f(x,z,y). Используя это выходит что: f(x,y,z)=−f(y,x,z)=−f(x,z,y)=−f(z,y,x).
Если здесь взять z=y, то 0=f(x,y,y)=f(x,x,y)=f(x,y,x). Из этого можно понять что f(1,1,1)=f(1,1,0)=f(1,0,1)=f(1,0,0)=f(0,1,1)=f(0,1,0)=f(0,0,1)=f(0,0,0)=0. Пусть множество этих чисел будет S, тогда так как любое число при делении на 2 даёт остатки 0 или 1, то для любых x,y,z f(x,y,z) при делении на 2 даёт остаток равному одному из чисел из множество S. Но так как все числа из множество S чётны, то и f(x,y,z) чётна.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.