Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан республикалық олимпиада, 2007-2008 оқу жылы, 11 сынып


Коэффициенттері бүтін (үш x,y,z айнымалысы бар) f(x,y,z) көпмүшелігі мынадай: f(x,y,z)=f(x,z,y)=f(z,y,x)=f(y,x,z). Кез келген бүтін a,b,c сандары үшін f(a,b,c) жұп сан болатынын дәлелде.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
5 года 10 месяца назад #

Почему здесь f(z,y,x) написано 2 раза?

  0
5 года 9 месяца назад #

Потому что опечатка

  1
3 года 9 месяца назад #

Пусть P(x,y,z) будет данное равенство. Тогда при P(z,x,y): f(y,x,z)=f(x,z,y). Используя это выходит что: f(x,y,z)=f(y,x,z)=f(x,z,y)=f(z,y,x).

Если здесь взять z=y, то 0=f(x,y,y)=f(x,x,y)=f(x,y,x). Из этого можно понять что f(1,1,1)=f(1,1,0)=f(1,0,1)=f(1,0,0)=f(0,1,1)=f(0,1,0)=f(0,0,1)=f(0,0,0)=0. Пусть множество этих чисел будет S, тогда так как любое число при делении на 2 даёт остатки 0 или 1, то для любых x,y,z f(x,y,z) при делении на 2 даёт остаток равному одному из чисел из множество S. Но так как все числа из множество S чётны, то и f(x,y,z) чётна.