Республиканская олимпиада по математике, 2008 год, 11 класс

Вневписанная окружность с центром $I_b$ касается стороны $AC$ и продолжении сторон $BC$ и $BA$ треугольника $ABC$. Обозначим через $B_1$ середину дуги $AC$ описанной окружности треугольника $ABC$, содержащую вершину $B$, а через $B_2$ — основание внешней биссектрисы угла $B$. Докажите, что прямая $B_2I$ перпендикулярна прямой $B_1I_b$, где $I$ — центр вписанной окружности $ABC$.

Комментарий/решение

Если имелось ввиду что $B_{2} \in BB_{1} \cap AC$ то условие выполняется , то что $BB_{1}$ будет внешней биссектрисы следует из того что $B_{1}$ середина дуги $AC$.

Докажем что $B_{2}BI , B_{1}BI_{b}$ подобны это и докажет что $B_{1}I_{b} \perp B_{2}I$ так как $\angle B_{2}BI_{b} = 90^{\circ}$.

Для этого докажем что $\dfrac{BI}{BB_{2}} = \dfrac{BB_{1}}{BI_{b}}$ пусть $p$ полупериметр и $S$ площадь и $R$ радиус описанной окружности $ABC$ тогда

$BI_{b}=\dfrac{p}{cos(\dfrac{B}{2})}$, $BB_{1}=2R \cdot cos(C+\dfrac{B}{2}) , BI=\dfrac{S}{p \cdot sin(\dfrac{B}{2})} ,BB_{2}=\dfrac{AB \cdot sinA}{-cos(A + \dfrac{B}{2})}$

Подставляя и приравнивая и преобразовывая $-cos(A+\dfrac{B}{2}) = cos(C+\dfrac{B}{2}) $ что верно

Очевидно, что точки $B$, $B_1$ и $B_2$ лежат на одной прямой; а также точки $B,I$ и $I_b$ лежат на одной прямой.

Пусть $T$ основание перпендикуляра из точки $I$ на прямую $B_1I_b$.

Рассмотрим три окружности. Окружность построенная на $II_b$ как на диаметре, окружность построенная на $IB_1$ как на диаметре, описанная окружность треугольника $ABC$. Известный факт что три радикальные оси пересекаются в одной точке. Из этого следует что точки $T$, $I$ и $B_2$ лежат на одной прямой

Отличное решение

bexultan, вот B1 B2 B3 на одной прямой докажите пожалуйста

Просто счетом углов можно доказать

Обозначим $I_a,I_c$ как $I_b$. Заметим что $(ABC)$ это окружность 9 точкек в $I_aI_bI_c$. Отсюда $B_1$ середина $I_aI_c$ и так как $I$ ортоцентр этого треугольника тогда $B_1I \cap (I_aI_bI_c)=K$ и $\angle IKB_2=90$. По рад.ось $B_2-K-I_b$ колинеарны. Тогда $I$ ортоцентр в треугольнике $B_1B_2I_b$ отсюда следует перпендикулярность.