Processing math: 100%

Республиканская олимпиада по математике, 2008 год, 11 класс


Вневписанная окружность с центром Ib касается стороны AC и продолжении сторон BC и BA треугольника ABC. Обозначим через B1 середину дуги AC описанной окружности треугольника ABC, содержащую вершину B, а через B2 — основание внешней биссектрисы угла B. Докажите, что прямая B2I перпендикулярна прямой B1Ib, где I — центр вписанной окружности ABC.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
6 года назад #

Если имелось ввиду что B2BB1AC то условие выполняется , то что BB1 будет внешней биссектрисы следует из того что B1 середина дуги AC.

Докажем что B2BI,B1BIb подобны это и докажет что B1IbB2I так как B2BIb=90.

Для этого докажем что BIBB2=BB1BIb пусть p полупериметр и S площадь и R радиус описанной окружности ABC тогда

BIb=pcos(B2), BB1=2Rcos(C+B2),BI=Spsin(B2),BB2=ABsinAcos(A+B2)

Подставляя и приравнивая и преобразовывая cos(A+B2)=cos(C+B2) что верно

пред. Правка 3   15
2 года 5 месяца назад #

Очевидно, что точки B, B1 и B2 лежат на одной прямой; а также точки B,I и Ib лежат на одной прямой.

Пусть T основание перпендикуляра из точки I на прямую B1Ib.

Рассмотрим три окружности. Окружность построенная на IIb как на диаметре, окружность построенная на IB1 как на диаметре, описанная окружность треугольника ABC. Известный факт что три радикальные оси пересекаются в одной точке. Из этого следует что точки T, I и B2 лежат на одной прямой

пред. Правка 2   5
2 года 5 месяца назад #

Отличное решение

  3
2 года 5 месяца назад #

bexultan, вот B1 B2 B3 на одной прямой докажите пожалуйста

  13
2 года 5 месяца назад #

Просто счетом углов можно доказать

  1
5 месяца 15 дней назад #

Обозначим Ia,Ic как Ib. Заметим что (ABC) это окружность 9 точкек в IaIbIc. Отсюда B1 середина IaIc и так как I ортоцентр этого треугольника тогда B1I(IaIbIc)=K и IKB2=90. По рад.ось B2KIb колинеарны. Тогда I ортоцентр в треугольнике B1B2Ib отсюда следует перпендикулярность.