Математикадан республикалық олимпиада, 2007-2008 оқу жылы, 11 сынып

Есеп №1. Әрбір натурал

$k$ саны үшін

${{F}_{k}}$ арқылы дәл

$k$ бірлік шаршыдан тұратын байланысты жазық фигуралардың жиынын белгілейік. Кез келген

$f$ жазық фигурасы үшін

$S\left( f \right)$ арқылы оны қамти алатын тіктөртбұрыштың ауданының ең аз мүмкін мәнін белгігейік. Берілген натурал

$n$ үшін

$\underset{f\in {{F}_{n}}}{\mathop{\max }}\,S\left( f \right)$ мәнін анықта. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение

Есеп №2. Центрі

${{I}_{b}}$ болатын сыртта іштей сызылған шеңбер АВС үшбұрышының

$AC$ қабырғасын,

$BC$ және

$BA$ қабырғаларының созындысын жанайды.

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің

$B$ төбесі жатқан

$AC$ доғасының ортасын

${{B}_{1}}$ деп, ал

$B$ бұрышының сыртқы биссектрисасының табанын

${{B}_{2}}$ деп белгілейік.

${{B}_{2}}I$ түзуінің

${{B}_{1}}{{I}_{b}}$ түзуіне перпендикуляр екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(6)

Есеп №3. Коэффициенттері бүтін (үш

$x,y,z$ айнымалысы бар)

$f(x,y,z)$ көпмүшелігі мынадай:

$f(x,y,z)=-f(x,z,y)=-f(z,y,x)=-f(y,x,z).$ Кез келген бүтін

$a,b,c$ сандары үшін

$f(a,b,c)$ жұп сан болатынын дәлелде.
комментарий/решение(3)

Есеп №4. Теңдеуді қанағаттандыратын барлық

${{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots,{{a}_{2008}}$ бүтін сандар тізбегін анықтаңдар:

${{\left( 2008-{{a}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{a}_{1}}-{{a}_{2}} \right)}^{2}}+\ldots+{{\left( {{a}_{2007}}-{{a}_{2008}} \right)}^{2}}+{{a}_{2008}}^{2}=2008.$
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$ABC$ үшбұрышының

$AB$ қабырғасынан

$K$ нүктесі алынған.

$AC$ қабырғасының (

$C$ нүктесінің арғы жағына) созындысы мен

$K$ нүктесінен

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңберге жүргізілген жанама

$N$ нүктесінде қиылысады.

$AC$ ,

$AB$ қабырғаларын және

$AKN$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді жанайтын

$\omega$ шеңбері жүргізілген.

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің

$\omega$ шеңберін жанайтынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение

Есеп №6. Кеңістіктен мына шартты қанағаттандыратын 6 нүкте табылатындай етіп ең көп дегенде қанша жазықтық таңдап алуға болады:
а) әрбір таңдалған жазықтықта осы нүктелердің кемінде 4-еуі жатады;
ә) ешбір 4 нүкте бір түзудің бойында жатпайды?
комментарий/решение(1)