Математикадан республикалық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 11 сынып

Есеп №1. Төртінші дәрежелі

$f\left( x \right)$ көпмүшелігінің нөлдері арифметикалық прогрессия құрайды.

$f'\left( x \right)$ көпмүшелігінің нөлдері де арифметикалық прогрессия құрайтынын дәлелде.
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$ABC$ — теңбүйірлі үшбұрыш (

$AB=BC$ ),

$I$ — оған іштей сызылған шеңбердің центрі.

$P$ нүктесі

$AIB$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберге тиісті,

$P$

$ABC$ -ның ішінде жатыр.

$P$ арқылы өтетін

$CA$ мен

$CB$ -ға параллель түзулер

$AB$ -ны сәйкес

$D$ және

$E$ нүктелерінде қияды.

$P$ арқылы өтетін

$AB$ -ға параллель түзу

$CA$ мен

$CB$ -ны сәйкес

$F$ және

$G$ нүктелерінде қияды.

$DF$ және

$EG$ түзулері

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің бойында қиылысатынын дәлелде.
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$p\left( p+1 \right)+q\left( q+1 \right)=r\left( r+1 \right)$ теңдеуінің шай сандар жиынында шешіңіздер.
комментарий/решение(2)

Есеп №4. Тік бұрышты үстелде бірдей бірнеше квадрат парақтар жатыр, олардың жиектері үстелдің жиектеріне параллель (парақтар беттесуі мүмкін). Әрбір парақ үстелге тек бір түйреуішпен қадалатындай бірнеше түйреуішті түйреуге болатынын дәлелде.
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$AB\ne CD$ болатын

$ABCD$ дөңес төртбұрышы шеңберге іштей сызылған.

$AKDL$ және

$CMBN$ —қабырғалары

$a$ -ға тең болатын ромбтар.

$K$ ,

$L$ ,

$M$ және

$N$ нүктелерінің бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №6.

$100\times 100$ тақтаның әрбір клеткасы 100 түстің біреуімен боялған да, бірдей түспен боялған тура 100 клеткадан. шыққан. 10-нан кем емес әртүрлі түске боялған клеткалары бар жолдың не бағанның бар екенін дәлелде.
комментарий/решение(1)

Есеп №7.

$p$ жай саны үшін

${{p}^{2}}$ саны

${{2}^{p-1}}-1$ санына бөлінеді. Кез келген натурал

$n$ саны үшін

$\left( p-1 \right)\left( p!+{{2}^{n}} \right)$ санының үштен кем емес әртүрлі жай бөлгіштерінің бар екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №8. Кез келген нақты

$x$ пен

$y$ үшін

$f\left( xf\left( y \right)+f\left( x \right) \right)=2f\left( x \right)+xy$ шартын қанағаттандыратын

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функциясын тап.
комментарий/решение(1)