Республиканская олимпиада по математике, 2007 год, 11 класс

Выпуклый четырехугольник $ABCD$ с $AB\neq DC$ вписан в окружность. Пусть $AKDL$ и $CMBN$ — ромбы с одинаковой стороной $a$. Докажите, что точки $K$, $L$, $M$, $N$ лежат на одной окружности.

Комментарий/решение

$K,L,O$ лежат на серединном перпендикуляре к $AD$; $M,N,O$ лежат на серединном перпендикуляре к $CB$. Пусть $\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4$ - окружности с центрами $A, B, C, D$ и радиусами $a$. $R$ -радиус $(ABCD)$, тогда $R^2-a^2 = pow(O,\omega_1) = pow(O,\omega_2) = pow(O,\omega_3) = pow(O,\omega_4)$, значит $O$ имеет равную степень относительно этих окружностей и $OK*OL=OM*ON$, поэтому $K,L,M,N$ лежат на одной окружности.