Решения: Республикалық олимпиада, Қорытынды кезең

Математикадан республикалық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 11 сынып

$AB\ne CD$ болатын

$ABCD$ дөңес төртбұрышы шеңберге іштей сызылған.

$AKDL$ және

$CMBN$ —қабырғалары

$a$ -ға тең болатын ромбтар.

$K$ ,

$L$ ,

$M$ және

$N$ нүктелерінің бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңіздер.

посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

ImaRHB

пред. Правка 2

2 года назад #

$K,L,O$ лежат на серединном перпендикуляре к $AD$ ; $M,N,O$ лежат на серединном перпендикуляре к $CB$ . Пусть $\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4$ - окружности с центрами $A, B, C, D$ и радиусами $a$ . $R$ -радиус $(ABCD)$ , тогда $R^2-a^2 = pow(O,\omega_1) = pow(O,\omega_2) = pow(O,\omega_3) = pow(O,\omega_4)$ , значит $O$ имеет равную степень относительно этих окружностей и $OK*OL=OM*ON$ , поэтому $K,L,M,N$ лежат на одной окружности.

ImaRHB