Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан республикалық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 11 сынып


Төртінші дәрежелі f(x) көпмүшелігінің нөлдері арифметикалық прогрессия құрайды. f(x) көпмүшелігінің нөлдері де арифметикалық прогрессия құрайтынын дәлелде.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
3 года 11 месяца назад #

пусть корни x1=a, x2=a+y, x3=a+2y, x4=a+3y

f(x)=A(xx1)(xx2)(xx3)(xx4)=A(x4+bx3+cx2+dx+m)=0

f(x)=A(4x3+3bx2+2cx+d)=0

По теореме Виета для f(x)=0

{4a+6y=b,6a2+18ay+11y2=c,4a3+18a2y+22ay2+6y3=d.

По теореме Виета для f(x)=0 и подставив b,c,d

{x1+x2+x3=3(2a+3y)2,x1x2+x1x3+x2x3=6a2+18ay+11y22,x1x2x3=(2a+3y)(a2+3ay+y2)2.

откуда x1(2a+3y)+(2a+3y)(a2+3ay+y2)2x1=6a2+18ay+11y22

x1(3(2a+3y)2x1)+(2a+3y)(a2+3ay+y2)2x1=6a2+18ay+11y22

x21(6a+9y2x1)+(2a+3y)(a2+3ay+y2)=x1(6a2+18ay+11y2)

(2x12a3y)((ax1)2+3y(ax1)+y2)=0

x1=2a+3y2

x2=2a+y(35)2

x3=2a+y(3+5)2

то есть тоже прогрессия .