Математикадан республикалық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 11 сынып
Төртінші дәрежелі f(x) көпмүшелігінің нөлдері арифметикалық прогрессия құрайды. f′(x) көпмүшелігінің нөлдері де арифметикалық прогрессия құрайтынын дәлелде.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
пусть корни x1=a, x2=a+y, x3=a+2y, x4=a+3y
f(x)=A(x−x1)(x−x2)(x−x3)(x−x4)=A(x4+bx3+cx2+dx+m)=0
f′(x)=A(4x3+3bx2+2cx+d)=0
По теореме Виета для f(x)=0
{4a+6y=−b,6a2+18ay+11y2=c,4a3+18a2y+22ay2+6y3=−d.
По теореме Виета для f′(x)=0 и подставив b,c,d
{x1+x2+x3=3(2a+3y)2,x1⋅x2+x1⋅x3+x2⋅x3=6a2+18ay+11y22,x1⋅x2⋅x3=(2a+3y)(a2+3ay+y2)2.
откуда x1⋅(2a+3y)+(2a+3y)(a2+3ay+y2)2x1=6a2+18ay+11y22
x1(3(2a+3y)2−x1)+(2a+3y)(a2+3ay+y2)2x1=6a2+18ay+11y22
x21(6a+9y−2x1)+(2a+3y)(a2+3ay+y2)=x1⋅(6a2+18ay+11y2)
(2x1−2a−3y)((a−x1)2+3y(a−x1)+y2)=0
x1=2a+3y2
x2=2a+y(3−√5)2
x3=2a+y(3+√5)2
то есть тоже прогрессия .
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.