Республиканская олимпиада по математике, 2007 год, 11 класс

Нули многочлена четвертой степени $f(x)$ образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что нули многочлена $f'(x)$ также образуют арифметическую прогрессию.

Комментарий/решение

пусть корни $x_{1}=a, \ x_{2}=a+y, \ x_{3}=a+2y, \ x_{4}=a+3y$

$f(x)=A(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})(x-x_{4})=A(x^4+bx^3+cx^2+dx+m)=0$

$f'(x)=A(4x^3+3bx^2+2cx+d)=0$

По теореме Виета для $f(x)=0$

$\left\{ \begin{gathered} 4a+6y=-b,\\ 6a^2+18ay+11y^2=c, \\ 4a^3+18a^2y+22ay^2+6y^3=-d. \end{gathered} \right.$

По теореме Виета для $f'(x)=0$ и подставив $b,c,d$

$\left\{ \begin{gathered} x_1+x_2+x_3=\dfrac{3(2a+3y)}{2},\\ x_1 \cdot x_2+x_1 \cdot x_3+x_2 \cdot x_3= \dfrac{6a^2+18ay+11y^2}{2}, \\ x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = \dfrac{(2a+3y)(a^2+3ay+y^2)}{2} . \end{gathered} \right.$

откуда $x_1 \cdot \dfrac{(2a+3y)+(2a+3y)(a^2+3ay+y^2)}{2x_{1}} = \dfrac{6a^2+18ay+11y^2}{2}$

$x_{1}( \dfrac{3(2a+3y)}{2}-x_{1})+\dfrac{(2a+3y)(a^2+3ay+y^2)}{2x_{1}}= \dfrac{6a^2+18ay+11y^2}{2}$

$x_{1}^2(6a+9y-2x_{1})+(2a+3y)(a^2+3ay+y^2)=x_{1} \cdot (6a^2+18ay+11y^2)$

$(2x_{1}-2a-3y)((a-x_{1})^2+3y(a-x_{1})+y^2)=0$

$x_{1}=\dfrac{2a+3y}{2}$

$x_{2}=\dfrac{2a+y(3-\sqrt{5})}{2}$

$x_{3}=\dfrac{2a+y(3+\sqrt{5})}{2}$

то есть тоже прогрессия .