Республиканская олимпиада по математике, 2007 год, 11 класс

Пусть $ABC$ — равнобедренный треугольник с $AC=BC$, $I$ — центр вписанной в него окружности. Точка $P$ принадлежит окружности, описанной около треугольника $AIB$, $P$ лежит внутри $ABC$. Прямые, проходящие через $P$ параллельно $CA$ и $CB$, пересекают $AB$ в точках $D$ и $E$ , соответственно. Прямая, проходящая через $P$ параллельно $AB$, пересекает $CA$ и $CB$ в точках $F$ и $G$, соответственно. Докажите, что прямые $DF$ и $EG$ пересекаются на окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Комментарий/решение

Положения точек такое же как в условий.

Теорема: если окружность $AIB = \omega$, пусть $H$ - точка на ней и $FG || AB$ , тогда $PE || BC$ и $PD || AC$ .

Доказательство: так как $\angle AIB = \angle APB = 90^{\circ} + \dfrac{\angle ACB}{2}$, так как $CH$ биссектриса $\angle AHB$ значит $\angle PBH = 360^{\circ} - \angle APB - (180^{\circ} - \angle ACB ) - \angle PAH = 360^{\circ} - (90^{\circ} + \dfrac{ACB}{2}) - (180^{\circ} - \angle ACB ) - (180^{\circ} - \angle APH-(90^{\circ} - \dfrac{ACB}{2})) = \angle APH$

то есть $\angle PBH = \angle APH$, но так как $\angle CGP = \angle CAB = \angle CHB$ то есть $BGPH$ и $AFPH$ вписанные, откуда $AFH, PGH$ подобны, то есть $\angle AHF = \angle PHG$ тогда $APEH$ так же вписанный, значит $AFPEH$ вписанный, откуда $PE=AF$ тогда $PE || BC$ по тем же соображениям $PD || AC$ .