Республиканская олимпиада по математике, 2007 год, 11 класс

Найдите все функции $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $, удовлетворяющие условию $f(xf(y)+f(x))=2f(x)+xy$ для любых действительных $x$ и $y$.

Комментарий/решение

$\textbf{Решение:}$ Обозначим через $Q(x;y)$ равенство $f(xf(y)+f(x))=2f(x)+xy$. Для начала рассмотрим подстановку $Q(1;x)$, получим

$$Q(1;x): \qquad \qquad f(f(x)+f(1))=2f(1)+x \qquad \qquad \qquad (1)$$

Отсюда следует, что функция сюръективна. Тогда существуют такие $a,b\in \mathbb{R}$ , что $f(a)=0$ и $f(b)=1$. Сделаем подстановку $Q(a;b)$.

$$Q(a;b): \qquad \qquad f(af(b)+f(a))=2f(a)+ab \quad \Longleftrightarrow ab=0 \qquad \qquad (2)$$

Рассмотрим два случая:

$\textbf{Случай №1:}$ $a=0$. То есть $f(0)=0$.

$$Q(x;0):\qquad \qquad f(f(x))=2f(x),\qquad \forall x\in \mathbb{R} \qquad \qquad \qquad (3)$$

$$Q(b;0):\qquad \qquad f(f(b))=2f(b)\quad \Longleftrightarrow \quad f(1)=2 \qquad \qquad \qquad (4)$$

$$Q(1;0):\qquad \qquad f(\underbrace{f(1)})=f(2)=2f(1)=4 \quad \Longleftrightarrow \quad f(2)=4 \qquad \qquad \qquad (5)$$

$$Q(2;b):\qquad \qquad f(\underbrace{f(2)})=f(4)=2b+8=4\quad \Longleftrightarrow \quad b=-2 \qquad \qquad \qquad (6)$$

$$Q(1;1):\qquad \qquad f(2f(1))=f(4)=2f(1)+1=5\quad \Longleftrightarrow \quad f(4)=5 \qquad \qquad \qquad (7)$$

Получили противоречие.

$\textbf{Случай №2:}$ $b=0$.То есть $f(0)=1$. $$Q(0;0): \quad f(1)=2\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (8)$$

$$............................. $$