Республиканская олимпиада по математике, 2007 год, 11 класс

Пусть $p$ — простое число, такое, что $p^2$ делит $2^{p-1}-1$. Докажите, что для любого натурального $n$ число $(p-1)(p!+2^n)$ имеет не менее трех различных простых делителей.

Комментарий/решение

Заметим что $p-1$ имеет больше двух делителей когда $p\geq5$ или $=k^m$

Заметим нам достаточно доказать что $p!+2^n \ne \in P$ Заметим если $p \geq 4 ,n\geq 2$ то это не простое тогда есть три варианта

$1)$$p=2$ тогда заметим изначальное условие не правильно аналогично со вторым вариантом тогда

$3)$$n=1$ Пусть теперь $p!+2$ простое тогда $p!+2=2$ но это невозможно

Главный случай если $p-1=q^k$ тогда Заметим перебором что $p=2$ невозможно тогда Заметим что $q=2$ $p-1=2^k$

$2^{2k}-1 \equiv 0 \pmod{(2^k+1)^2}$ но заметим правое больше что невозможно