Математикадан республикалық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 11 сынып

$p$ жай саны үшін ${{p}^{2}}$ саны ${{2}^{p-1}}-1$ санына бөлінеді. Кез келген натурал $n$ саны үшін $\left( p-1 \right)\left( p!+{{2}^{n}} \right)$ санының үштен кем емес әртүрлі жай бөлгіштерінің бар екенін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Заметим что $p-1$ имеет больше двух делителей когда $p\geq5$ или $=k^m$

Заметим нам достаточно доказать что $p!+2^n \ne \in P$ Заметим если $p \geq 4 ,n\geq 2$ то это не простое тогда есть три варианта

$1)$$p=2$ тогда заметим изначальное условие не правильно аналогично со вторым вариантом тогда

$3)$$n=1$ Пусть теперь $p!+2$ простое тогда $p!+2=2$ но это невозможно

Главный случай если $p-1=q^k$ тогда Заметим перебором что $p=2$ невозможно тогда Заметим что $q=2$ $p-1=2^k$

$2^{2k}-1 \equiv 0 \pmod{(2^k+1)^2}$ но заметим правое больше что невозможно