Республиканская олимпиада по математике, 2006 год, 10 класс

Задача №1. Натуральные числа от 1 до 200 разбили на 50 множеств. Докажите, что в одном из них найдутся три числа, являющиеся длинами сторон некоторого треугольника.
комментарий/решение

Задача №2. Назовем раскраску доски

$8 \times 8$ в три цвета

$\textit{хорошей}$ , если в любом уголке из пяти клеток присутствуют клетки всех трех цветов. (Уголок из пяти клеток — это фигура, получающаяся из квадрата

$3 \times 3$ вырезанием квадрата

$2 \times 2$ .) Докажите, что количество хороших раскрасок не меньше, чем 68.
комментарий/решение

Задача №3. Биссектрисы углов

$A$ и

$C$ треугольника

$ABC$ пересекают описанную окружность этого треугольника в точках

$A_0$ и

$C_0$ соответственно. Прямая, проходящая через центр вписанной окружности треугольника

$ABC$ параллельно стороне

$AC$ , пересекается с прямой

$A_0C_0$ в точке

$P$ . Докажите, что прямая

$PB$ касается описанной окружности треугольника

$ABC$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. Даны

$n > 1$ приведенных квадратных трехчленов

$x^2 - a_1x + b_1$ ,

$\dots$ ,

$x^2 - a_nx + b_n$ , причем все

$2n$ чисел

$a_1$ ,

$\dots$ ,

$a_n$ ,

$b_1$ ,

$\dots$ ,

$b_n$ различны. Может ли случиться, что каждое из чисел

$a_1$ ,

$\dots$ ,

$a_n$ ,

$b_1$ ,

$\dots$ ,

$b_n$ является корнем одного из этих трехчленов?
комментарий/решение

Задача №5. Докажите, что для каждого

$x$ такого, что

$\sin x \neq 0$ , найдется такое натуральное

$n$ , что

$|\sin nx| \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$ .
комментарий/решение(3)

Задача №6. Через точку пересечения высот остроугольного треугольника

$ABC$ проходят три окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника в основании высоты. Докажите, что вторые точки пересечения окружностей являются вершинами треугольника, подобного исходному.
комментарий/решение(1)

Задача №7. При каких натуральных

$n$ найдутся такие положительные рациональные, но не целые числа

$a$ и

$b$ , что оба числа

$a + b$ и

$a^n + b^n$ — целые?
комментарий/решение

Задача №8. У выпуклого многогранника

$2n$ граней (

$n \geq 3$ ), и все грани являются треугольниками. Какое наибольшее число вершин, в которых сходится ровно 3 ребра, может быть у такого многогранника?
комментарий/решение