Республиканская олимпиада по математике, 2006 год, 10 класс

Биссектрисы углов $A$ и $C$ треугольника $ABC$ пересекают описанную окружность этого треугольника в точках $A_0$ и $C_0$ соответственно. Прямая, проходящая через центр вписанной окружности треугольника $ABC$ параллельно стороне $AC$, пересекается с прямой $A_0C_0$ в точке $P$. Докажите, что прямая $PB$ касается описанной окружности треугольника $ABC$.

Комментарий/решение

Из леммы о трезубце $C_0I = C_0B$ и $A_0I = A_0B$, тогда $A_0C_0$ - серединный перпендикуляр к $BI$, а значит $\angle PBA_0=\angle PIA_0=\angle CAA_0=\angle BAA_0$, то есть $\angle PBA_0 = \angle BAA_0$ как вписанный угол и угол между хордой и касательной, то есть $PB$ касается окружности.