Математикадан республикалық олимпиада, 2005-2006 оқу жылы, 10 сынып

$ABC$ үшбұрышының $A$ және $C$ бұрыштарының биссектрисалары үшбұрышқа сырттай сызылған шеңберді сәйкесінше $A_0$ және $C_0$ нүктелерінде қияды. $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер центрінен өтетін және $AC$ қабырғасына параллель түзу $A_0C_0$ түзуімен $P$ нүктесінде қиылысады. $PB$ түзуі $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді жанайтынын дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Из леммы о трезубце $C_0I = C_0B$ и $A_0I = A_0B$, тогда $A_0C_0$ - серединный перпендикуляр к $BI$, а значит $\angle PBA_0=\angle PIA_0=\angle CAA_0=\angle BAA_0$, то есть $\angle PBA_0 = \angle BAA_0$ как вписанный угол и угол между хордой и касательной, то есть $PB$ касается окружности.