Математикадан республикалық олимпиада, 2005-2006 оқу жылы, 10 сынып

Есеп №1. 1–ден 200-ге дейінгі натурал санларды 50 жиынға бөлді. Осы жиындардың бірінде үшбұрыш қабырғаларының ұзындықтары болатындай үш сан табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

Есеп №2. $8 \times 8$ тақтасын үш түске бояуды жақсы деп айтамыз, егер кез келген бес тордан тұратын бұрыштықта барлық үш түс кездессе. (Бес тордан тұратын бұрыштық — $3 \times 3$ квадраттан $2 \times 2$ квадратын алып тастағандағы фигура.) Жақсы бояудың саны кем дегенде 68 екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

Есеп №3. $ABC$ үшбұрышының $A$ және $C$ бұрыштарының биссектрисалары үшбұрышқа сырттай сызылған шеңберді сәйкесінше $A_0$ және $C_0$ нүктелерінде қияды. $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер центрінен өтетін және $AC$ қабырғасына параллель түзу $A_0C_0$ түзуімен $P$ нүктесінде қиылысады. $PB$ түзуі $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді жанайтынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. $n > 1$ үшін барлық $a_1$, $\dots$, $a_n$, $b_1$, $\dots$, $b_n$ сандары ($2n$ сан) әр түрлі болатындай $x^2 - a_1x + b_1$, $\dots$, $x^2 - a_nx + b_n$ келтірілген квадрат үшмүшеліктері берілген. $a_1$, $\dots$, $a_n$, $b_1$, $\dots$, $b_n$ сандарының әрбірі осы үшмүшеліктердің бірінің түбірлері бола ала ма?
комментарий/решение

Есеп №5. $\sin x \neq 0$ болатындай әрбір $x$ үшін $|\sin nx| \geq \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ шарты орындалатындай $n$ натурал саны табылатынын дәлеледеңіздер.
комментарий/решение(3)

Есеп №6. Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесі арқылы үш шеңбер өтеді, олардың әрбірі үшбұрыш қабырғаларын биіктіктер табандарында жанайды. Шеңберлердің екінші қиылысу нүктелері бастапқы үшбұрышқа ұқсас үшбұрыштың төбелері екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №7. $n$ натурал санының қандай мәнінде $a + b$ және $a^n + b^n$ сандары бүтін болатындай оң рационал бірақ бүтін емес $a$ және $b$ сандары табылады?
комментарий/решение

Есеп №8. Дөңес көпжақтың $2n$ жағы бар($n \geq 3$) және барлық жақтары үшбұрыштар. Дәл 3 қабырғамен жалғанған ең көп дегенде қанша төбесі болуы мүмкін?
комментарий/решение