Математикадан республикалық олимпиада, 2005-2006 оқу жылы, 10 сынып

Есеп №1. 1–ден 200-ге дейінгі натурал санларды 50 жиынға бөлді. Осы жиындардың бірінде үшбұрыш қабырғаларының ұзындықтары болатындай үш сан табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

Есеп №2.

$8 \times 8$ тақтасын үш түске бояуды жақсы деп айтамыз, егер кез келген бес тордан тұратын бұрыштықта барлық үш түс кездессе. (Бес тордан тұратын бұрыштық —

$3 \times 3$ квадраттан

$2 \times 2$ квадратын алып тастағандағы фигура.) Жақсы бояудың саны кем дегенде 68 екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

Есеп №3.

$ABC$ үшбұрышының

$A$ және

$C$ бұрыштарының биссектрисалары үшбұрышқа сырттай сызылған шеңберді сәйкесінше

$A_0$ және

$C_0$ нүктелерінде қияды.

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер центрінен өтетін және

$AC$ қабырғасына параллель түзу

$A_0C_0$ түзуімен

$P$ нүктесінде қиылысады.

$PB$ түзуі

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді жанайтынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

$n > 1$ үшін барлық

$a_1$ ,

$\dots$ ,

$a_n$ ,

$b_1$ ,

$\dots$ ,

$b_n$ сандары (

$2n$ сан) әр түрлі болатындай

$x^2 - a_1x + b_1$ ,

$\dots$ ,

$x^2 - a_nx + b_n$ келтірілген квадрат үшмүшеліктері берілген.

$a_1$ ,

$\dots$ ,

$a_n$ ,

$b_1$ ,

$\dots$ ,

$b_n$ сандарының әрбірі осы үшмүшеліктердің бірінің түбірлері бола ала ма?
комментарий/решение

Есеп №5.

$\sin x \neq 0$ болатындай әрбір

$x$ үшін

$|\sin nx| \geq \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ шарты орындалатындай

$n$ натурал саны табылатынын дәлеледеңіздер.
комментарий/решение(3)

Есеп №6. Сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесі арқылы үш шеңбер өтеді, олардың әрбірі үшбұрыш қабырғаларын биіктіктер табандарында жанайды. Шеңберлердің екінші қиылысу нүктелері бастапқы үшбұрышқа ұқсас үшбұрыштың төбелері екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №7.

$n$ натурал санының қандай мәнінде

$a + b$ және

$a^n + b^n$ сандары бүтін болатындай оң рационал бірақ бүтін емес

$a$ және

$b$ сандары табылады?
комментарий/решение

Есеп №8. Дөңес көпжақтың

$2n$ жағы бар(

$n \geq 3$ ) және барлық жақтары үшбұрыштар. Дәл 3 қабырғамен жалғанған ең көп дегенде қанша төбесі болуы мүмкін?
комментарий/решение