Математикадан республикалық олимпиада, 2005-2006 оқу жылы, 10 сынып
Сүйірбұрышты ABC үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесі арқылы үш шеңбер өтеді, олардың әрбірі үшбұрыш қабырғаларын биіктіктер табандарында жанайды. Шеңберлердің екінші қиылысу нүктелері бастапқы үшбұрышқа ұқсас үшбұрыштың төбелері екенін дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
H - ортоцентр; A1,B1,C1 - основания высот из A,B,C соответственно; ω1,ω2,ω3 - окружности касающиеся BC в точке A1,CA в точке B1,AB в точке C1. A2=ω2∩ω3, B2=ω3∩ω1, C2=ω1∩ω2, тогда ∠HB2A1=90=∠HB2C1 и A1,B2,C1 лежат на одной прямой, так и с B1,C2,A1;C1,A2,B1, тогда по известному свойству AA1,BB1,CC1 - биссектрисы углов треугольника A1B1C1, то есть H - центр вписанной окружности A1B1C1, и HA2,HB2,HC2 перпендикулярны соответственным сторонам, поэтому A2B2C2 - треугольник Жергонна ортотреугольника ABC, который по известному свойству гомотетичен треугольнику ABC.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.