Республиканская олимпиада по математике, 2006 год, 10 класс

Через точку пересечения высот остроугольного треугольника $ABC$ проходят три окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника в основании высоты. Докажите, что вторые точки пересечения окружностей являются вершинами треугольника, подобного исходному.

Комментарий/решение

$H$ - ортоцентр; $A_1, B_1, C_1$ - основания высот из $A,B,C$ соответственно; $\omega_1,\omega_2,\omega_3$ - окружности касающиеся $BC$ в точке $A_1$,$CA$ в точке $B_1$,$AB$ в точке $C_1$. $A_2 = \omega_2 \cap \omega_3$, $B_2 = \omega_3 \cap \omega_1$, $C_2 = \omega_1 \cap \omega_2$, тогда $\angle HB_2A_1 = 90 = \angle HB_2C_1$ и $A_1,B_2,C_1$ лежат на одной прямой, так и с $B_1,C_2,A_1$;$C_1,A_2,B_1$, тогда по известному свойству $AA_1,BB_1,CC_1$ - биссектрисы углов треугольника $A_1B_1C_1$, то есть $H$ - центр вписанной окружности $A_1B_1C_1$, и $HA_2,HB_2,HC_2$ перпендикулярны соответственным сторонам, поэтому $A_2B_2C_2$ - треугольник Жергонна ортотреугольника $ABC$, который по известному свойству гомотетичен треугольнику $ABC$.