қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по математике, 2026 год, 10 класс
Есеп №1. Келесі екі шартты қанағаттандыратын натурал сандардан тұратын шексіз $S$ жиыны табылады ма:
(i) барлық қос қостан әртүрлі $a_1,a_2,\ldots,a_{100}\in S$ сандары үшін $\text{ЕҮОБ}(a_1,a_2,\ldots,a_{100})=1$ теңдігі орындалады;
(ii) әрбір $x\in S$ үшін $x^2$ саны $x+y+2026$ санына бөлінетіндей $y\in S$ саны табылады? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3)
(i) барлық қос қостан әртүрлі $a_1,a_2,\ldots,a_{100}\in S$ сандары үшін $\text{ЕҮОБ}(a_1,a_2,\ldots,a_{100})=1$ теңдігі орындалады;
(ii) әрбір $x\in S$ үшін $x^2$ саны $x+y+2026$ санына бөлінетіндей $y\in S$ саны табылады? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3)
Есеп №2. $ABCD$ параллелограмы берілген, мұнда $\angle BAC=45^\circ$ және $\angle ABC > 90^\circ$. $A$ нүктесінен $BC$ түзуіне түсірілген перпендикуляр $\triangle ACD$-ның сырттай сызылған шеңберін екінші рет $E$ нүктесінде қиып өтеді. $EB$ түзуі $AC$ диагоналын $F$ нүктесінде қиып өтеді. $EF=2AF$ екені белгілі. $DF$ түзуі $\triangle ACD$-ның сырттай сызылған шеңберін екінші рет $M$ нүктесінде қиып өтеді, ал $AM$ және $BC$ түзулері $N$ нүктесінде қиылысады. $CM, FN$ және $AE$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз.
(
М. Нсанбаев
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №3. Екі ойыншы келесі ойынды ойнайды. $S$ төбесі бар бос граф және әртүрлі түстердегі $k$ қарындаш берілген. Бірінші ойыншы түсті атайды, содан кейін екінші ойыншы бұрын жүргізілмеген кез келген бір қабырғаны аталған түспен жүргізеді. Содан соң бірінші ойыншы қайтадан түсті атайды, екінші ойыншы қабырға жүргізеді және т.с.с. Егер ойынның бір сәтінде бір түсті қабырғалардан тұратын цикл пайда болса, онда ойын аяқталып, екінші ойыншы жеңеді. Ал егер барлық қабырғалар жүргізіліп, бірде-бір біртүсті цикл пайда болмаса, онда бірінші ойыншы жеңеді. Берілген $S > 2$ үшін, екінші ойыншы өзіне жеңісті кепілдей алатын ең үлкен $k$ мәнін табыңыз.
(
Абдрахманов А.
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. Өлшемі $n \times n$ болатын тор тақта қарастырамыз. Егер екі ұяшықтың ортақ қабырғасы болса, онда бұл ұяшықтар көршілес деп аталады. Ұяшықтар жиыны байланысқан деп аталады, егер осы жиындағы кез келген бір ұяшықтан осы жиындағы басқа кез келген ұяшыққа осы жиыннан шықпай және тек көршілес ұяшықтар арқылы жетуге болса. Барлық түстер қолданылып, бірдей түсті көршілес ұяшықтар болмайтындай және кез келген екі түстің ұяшықтары бірігіп байланысқан жиын құратындай етіп $n\times n$ тақтаның барлық ұяшықтарын үш түске бояуға болатындай $n$ натурал саны табылады ма?
(
Уразгулов А.
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. Бүтін $n\ge 2$ және нақты оң $a_1,b_1,a_2,b_2,\ldots$, $a_n,b_n$ сандары берілген. Әр $k=1,2,\ldots,n$ үшін \[\frac{a_k^2 + 1}{b_k}\ge b_1+b_2+\cdots + b_n \quad \text{және} \quad \frac{b_k^2 + 1}{a_k}\ge a_1+a_2+\cdots + a_n \] теңсіздіктері орындалады. $|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+\cdots+|a_n-b_n|\le \sqrt{8n}$ екенін дәлелдеңіз.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Дөңес $ABCD$ төртбұрышының $AC$ және $BD$ диагональдары $E$ нүктесінде қиылысады. $I_1, I_2, I_3, I_4$ — сәйкесінше $ABE$, $BCE$, $CDE$, $DAE$ үшбұрыштарының іштей сызылған шеңберлерінің центрлері, ал $\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4$ — сәйкесінше $ABI_1$, $BCI_2$, $CDI_3$, $DAI_4$ үшбұрыштарының сырттай сызылған шеңберлері. $M$ және $N$ — сәйкесінше $AC$ және $BD$ диагональдарының орталары. Егер $M\ne N$ болса, онда $MN$ түзуінің бойында $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ және $\omega_4$ шеңберлеріне қатысты нүкте дәрежелері тең болатын $P$ нүктесі табылатынын дәлелдеңіз. (Центрі $O$ және радиусы $r$ болатын шеңберге қатысты $X$ нүктесінің дәрежесі $OX^2 - r^2$ шамасына тең.)
(
Зауытхан А.,
Кеңшілік Е.
)
комментарий/решение
комментарий/решение