Республиканская олимпиада по математике, 2026 год, 10 класс

Дан параллелограмм $ABCD$, где $\angle BAC=45^\circ$ и $\angle ABC > 90^\circ$. Перпендикуляр из точки $A$ на прямую $BC$ вторично пересекает описанную окружность $\triangle ACD$ в точке $E$. Прямая $EB$ пересекает диагональ $AC$ в точке $F$. Оказалось, что $EF=2AF$. Прямая $DF$ пересекает описанную окружность $\triangle ACD$ вторично в точке $M$, а прямые $AM$ и $BC$ пересекаются в точке $N$. Докажите, что прямые $CM, FN$ и $AE$ пересекаются в одной точке. ( М. Нсанбаев )

Комментарий/решение

Пусть $AE \cap BC = T, AM \cap CE = S, AB \cap CE =G.$ Используем $Факт \: №2$ из данной задачи, тогда нужно доказать то что $\angle MTA = \angle FTA.$ Из $AD \parallel BC \Rightarrow \angle EAD = 90^\circ \Rightarrow ED \: - $ диаметр в $(AMECD).$ $\angle BAC = \angle ACD = \angle AED = \angle AMD = 45^\circ \Rightarrow \angle ADE = 180^\circ - \angle EAD - \angle AED = 45^\circ = \angle ACE \Rightarrow \angle AGC = 180^\circ - \angle GAC - \angle GCA = 90^\circ \Rightarrow AG \perp EC, \: AT \perp BC \Rightarrow B \: -$ ортоцентр в $\triangle AEC \Rightarrow EF \perp AC \Rightarrow \angle ABF = 180^\circ - \angle AFB - \angle BAF = 45^\circ = \angle AMF \Rightarrow (AMBF) \Rightarrow \angle AMB = 180^\circ - \angle AFB = 90^\circ,$ и $AF = BF \Rightarrow AF = BF = BE.$ Очевидно то что $(CETF) \Rightarrow \angle ATF = \angle ACE = 45^\circ \Rightarrow (AMTBF).$ $\triangle EMF: \angle EMF = \angle EMD = \angle EAD = 90^\circ, \: EB = BF \Rightarrow EB = BM = BF \Rightarrow EB = BM = BF = AF \Rightarrow AMBF \: -$ квадрат $\Rightarrow \angle ABM = \angle ATM = 45^\circ. \Rightarrow \angle MTA = \angle FTA = 45^\circ. \square$