қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по математике, 2026 год, 9 класс
Есеп №1. $ABC$ тікбұрышты үшбұрышы берілген, мұнда $\angle A = 90^\circ$ және $AB\ne AC$. $BC$, $AC$, $AB$ қабырғаларының сыртқы жағында гипотенузалары сәйкесінше $BC, CA, AB$ болатын теңбүйірлі тікбұрышты $BCX, CAY, ABZ$ үшбұрыштары салынған. $BACW$ төртбұрышы тіктөртбұрыш болатындай $W$ нүктесі алынған. $X,Y,Z,W$ нүктелері теңбүйірлі трапеция құрайтынын дәлелдеңіз.
(
Кеңшілік Е.
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №2. Теңдеуді натурал сандарда шешіңіз \[3^a+4^b=7^c\cdot 13^d\cdot e, \] мұнда $a$ саны $e$ санына бөлінеді.
(
Киргизбаев Н.
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. Бүтін $n\ge 4$ саны берілген. Кез келген екі $(a,b)$ және $(c,d)$ қара ұяшық үшін $|a-c|+|b-d|\ne n-1$ шарты орындалатындай өлшемі $n \times n$ болатын тақтада ең көп неше ұяшықты қара түске бояуға болады? (Мұнда $(x,y)$ арқылы $x$-ші қатар мен $y$-ші бағанның қиылысындағы ұяшық белгіленген. Тақтаның сол жақ төменгі бұрышындағы ұяшық бірінші қатар мен бірінші бағанның қиылысында орналасқан).
(
Абдирасулов А.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Қалада 2026 тұрғын бар. Сайлауда $A$ партиясына 41 тұрғын дауыс беруге дайын, ал қалған 1985 тұрғын $B$ партиясына дауыс береді. Қаланың барлық тұрғындары сайлаушылар болып табылады. $A$ партиясы барлық сайлаушыларды $k$ округке бөледі. Барлық округтердегі сайлаушылар саны әртүрлі болуы тиіс және әрбір округте кемінде бір тұрғын дауыс беруі керек. Округте қай партия қатаң көп дауыс алса, сол жеңеді (дауыс саны тең болса, тең нәтиже жарияланады). $A$ партиясы $B$ партиясынан қатаң көп округ ұтып, сайлауда жеңе алатындай ең үлкен $k$ мәнін табыңыз.
(
Сарсенгали Д.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Бүтін $n\ge 4$ саны берілген. Коэффициенттері нақты сандар болатын $P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_0$ көпмүшесінің $n$ нақты түбірі бар (міндетті түрде әртүрлі емес), мұнда $a_{n-1}=-n$ және $a_{n-2}=n(n-3)/2$. $P(x)$ көпмүшесінің ең үлкен түбірінің ең кіші мүмкін мәнін табыңыз.
(
Абдыкулов А.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Сүйірбұрышты $ABC$ ($AB\ne AC$) үшбұрышының $BE$ және $CF$ биіктіктері $H$ нүктесінде қиылысады. $M$ нүктесі $BC$ қабырғасының ортасы, ал $N$ — $AM$ кесіндісінің кез келген нүктесі. $\omega$ шеңбері $B$ және $F$ нүктелері арқылы өтеді және $BC$ түзуін жанайды. $FN$ түзуі $\omega$ шеңберін екінші рет $X$ нүктесінде қиып өтеді. $BXC$ үшбұрышының сырттай сызылған шеңберінің центрі $HN$ түзуінің бойында жататынын дәлелдеңіз.
(
Юркевич М.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)