Республиканская олимпиада по математике, 2026 год, 9 класс

Дано целое число $n\ge 4$. Многочлен $P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_0$ с действительными коэффициентами имеет $n$ действительных корней (необязательно различных), причем $a_{n-1}=-n$ и $a_{n-2}=n(n-3)/2$. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего корня $P(x)$. ( Абдыкулов А. )

Комментарий/решение

пусть $x_1,x_2,\dots,x_n$ корни многочлена , и $x_n$ наибольший среди них. По виете выходит что $\sum \limits_{i=1}^{n}{x_i}=n$ и также $\sum \limits_{1\leq i<j\leq n}^{n}{x_ix_j}=\frac{n\cdot (n-3)}{2}$ из обоих равенств выходит $\sum \limits_{i=1}^{n}{x_i^2}=n^2-n(n-3)=3n$

возьмем $y_i=x_n-x_i$ тк $x_n$ наибольший, то $y_i>=0$

$\sum \limits_{i=1}^{n}{y_i^2}=\sum \limits_{i=1}^{n}{(x_n-x_i)^2}=nx_n^2-2x_nn+3n$

$(\sum \limits_{i=1}^{n}{y_i})^2=(nx_n-n)^2$

из неотрицательности $y_i \Rightarrow \sum \limits_{i=1}^{n}{y_i^2} \leq (\sum \limits_{i=1}^{n}{y_i})^2 \Rightarrow (nx_n-n)^2-(nx_n^2-2x_nn+3n)\geq 0 $ раскрыв и поделив на $n\cdot (n-1)$ выходит $\Rightarrow x_n^2-2x_n+\frac{n-3}{n-1}\geq 0$ не сложно заметить , что $x_n$ достигает минимального значения при равенстве. По дискр выходит что $x_n=\frac{2+2\sqrt{1-\frac{n-3}{n-1}}}{2}=1+\sqrt{\frac{2}{n-1}}$. Случай равенства достигается когда $n-1$ элементов $(y_i)$ равны нулю и оставшийся ненулевой, т.е когда $x_1<x_2=x_3=\dots=x_n$