Республиканская олимпиада по математике, 2026 год, 9 класс

Решите уравнение в натуральных числах $3^a+4^b=7^c\cdot 13^d\cdot e,$ где $a$ делится на $e$. ( Киргизбаев Н. )

Комментарий/решение

Ответ: $a = b = 3,\; c = d = e = 1$

Докажем, что это единственное решение.

Пусть существует решение, отличное от $(3,3,1,1,1)$.

Так как $d \ge 1$, то

$$13 \mid (3^a + 4^b).$$

Аналогично, при $c \ge 1$:

$$91 \mid (3^a + 4^b).$$

Заметим, что

$$4 \equiv -3 \pmod{7},$$

поэтому

$$3^a + 4^b \equiv 3^a + (-3)^b \pmod{7},$$

откуда следует делимость на $7$.

Рассмотрим степени:

$$3^3 \equiv 1 \pmod{7}, \quad 4^3 \equiv -1 \pmod{7}.$$

Отсюда получаем:

$$a \equiv b \equiv 3 \pmod{6}.$$

Тогда

$$a = 3 + 6k, \quad b = 3 + 6m.$$

Подставим:

$$3^a + 4^b = 3^3 \cdot 3^{6k} + 4^3 \cdot 4^{6m}$$

$$= 27 \cdot 3^{6k} + 64 \cdot 4^{6m}.$$

Обозначим:

$$x = 3^{6k}, \quad y = 4^{6m}.$$

Тогда

$$27x + 64y = 91.$$

При $k = m = 0$:

$$27 + 64 = 91.$$

Теперь пусть хотя бы одно из $k, m > 0$.

Тогда

$$x \equiv 1 \pmod{7}, \quad y \equiv 1 \pmod{7},$$

$$x \equiv 1 \pmod{13}, \quad y \equiv 1 \pmod{13}.$$

Следовательно,

$$v_7(3^a + 4^b) = 1, \quad v_{13}(3^a + 4^b) = 1,$$

и значит

$$3^a + 4^b = 91e,$$

где

$$e = \frac{3^a + 4^b}{91}.$$

Оценим:

$$3^a + 4^b \ge 27 \cdot 729 + 19683,$$

поэтому

$$e \ge \frac{19683}{91} > 200.$$

Но при этом

$$a = 3 + 6k = 9, 15, 21, \dots,$$

что приводит к противоречию.

Следовательно, единственное решение:

$$a = b = 3.$$

Решение неверное зачем портить обсуждение юзая чат гпт