Республиканская олимпиада по математике, 2026 год, 9 класс

Решите уравнение в натуральных числах $3^a+4^b=7^c\cdot 13^d\cdot e,$ где $a$ делится на $e$. ( Киргизбаев Н. )

Комментарий/решение

Рассмотрим сравнения по модулю $7$ и $13$.

Заметим, что $4 \equiv -3 \pmod{7}$, тогда

$$3^a + 4^b \equiv 3^a + (-3)^b \equiv 0 \pmod{7}.$$

Отсюда

$$3^a \equiv (-1)^{b+1} 3^b \pmod{7}.$$

Так как порядок числа $3$ по модулю $7$ равен $6$, получаем

$$a \equiv b \pmod{6}.$$

Аналогично по модулю $13$ получаем

$$a \equiv b \equiv 3 \pmod{6}.$$

Пусть

$$a = 3 + 6k, \quad b = 3 + 6m.$$

Тогда

$$3^a + 4^b = 3^{3+6k} + 4^{3+6m} = 27 \cdot 3^{6k} + 64 \cdot 4^{6m}.$$

Рассмотрим делимость на $7$ и $49$.

Заметим, что

$$3^6 = 729 \equiv 43 \not\equiv 1 \pmod{49}.$$

Следовательно, при $k \ge 1$:

$$3^{6k} \not\equiv 1 \pmod{49}.$$

Аналогично, при $m \ge 1$:

$$4^{6m} \not\equiv 1 \pmod{49}.$$

Отсюда следует, что

$$3^a + 4^b \not\equiv 0 \pmod{49},$$

то есть

$$v_7(3^a + 4^b) = 1.$$

Аналогично рассматривая по модулю $13^2 = 169$, получаем

$$v_{13}(3^a + 4^b) = 1.$$

Следовательно,

$$3^a + 4^b = 7 \cdot 13 \cdot e = 91e.$$

Теперь оценим выражение. Если $k \ge 1$ или $m \ge 1$, то

$$3^{6k} \ge 729, \quad 4^{6m} \ge 4096,$$

и потому

$$3^a + 4^b \ge 27 \cdot 729 = 19683.$$

Тогда

$$e = \frac{3^a + 4^b}{91} \ge \frac{19683}{91} > 200.$$

Но по условию $e \mid a$, а

$$a = 6k + 3,$$

что невозможно при $k \ge 1$.

Следовательно,

$$k = 0, \quad m = 0.$$

Тогда

$$a = b = 3,$$

и

$$3^3 + 4^3 = 27 + 64 = 91 = 7 \cdot 13.$$

Отсюда

$$c = d = e = 1.$$

Ответ:$(a,b,c,d,e) = (3,3,1,1,1).$

Решение неверное зачем портить обсуждение юзая чат гпт

Во первых я не юзал чат гпт а во вторых в чем ошибка?

Мне интересно, по каким критериям вы определили что тут использован гпт?