қазақша
русский9-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 1 тур
Есеп №1. Егер натурал санды $2024$-ке бөлгенде қалдық $1024$-ке тең болса, осы санды $23$-ке бөлгенде қандай қалдық шығады?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №2. Арман мен оның әкесінің жастарының қосындысы $58$-ге тең, ал әкесі мен атасының жастарының қосындысы $115$-ке тең. Арман туылғанда атасы неше жаста болған?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №3. Компьютерлік ойында ойыншы қарсыластың мұнарасын $60$ соққымен қирата алады. Егер ойыншының келтіретін зияны $50\%$-ға артса, ал қарсылас мұнараға кіретін зиянды $50\%$-ға азайтатын қалқан орнатса, енді ойыншы мұнараны неше соққымен қирата алады?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. Жүк пойызы «Махаббат» станциясынан таңғы $06{:}00$-де «Болашақ» станциясы бағытына $70$ км/сағ жылдамдықпен жолға шықты. Таңғы $09{:}00$-де «Болашақ» станциясынан оған қарсы бағытта жолаушылар пойызы $100$ км/сағ жылдамдықпен шықты. Сол күні сағат $15{:}00$-де жүк пойызы «Болашақ» станциясына келіп жетті. Жүк пойызы келген сәтте жолаушылар пойызына «Махаббат» станциясына дейін қанша километр қалған?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. Үш тізбектес натурал сан берілген. Егер олардың орташасының кубы осы үш санның көбейтіндісінен $247$-ге артық болса, осы үш санның қосындысын нешеге тең?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №6. Өлшемі $3\times4$ болатын кестенің әрбір ұяшығына бір натурал сан жазылған. Әрбір жолдағы сандардың қосындылары бірдей, сондай-ақ әрбір бағандағы сандардың қосындылары да бірдей. Суретте кейбір сандар көрсетілген. Сұрақ белгісі тұрған ұяшықта қандай сан жазылған?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №7. Санжарда тікбұрышты параллелепипед пішініндегі екі бірдей кірпіш бар. Ол оларды Суретте көрсетілгендей, бір беттері арқылы жанастырып қояды. Нәтижесінде алынған үш дененің толық беттерінің аудандары тиісінше $72$ см$^2$, $96$ см$^2$ және $102$ см$^2$ болған. Бір кірпіштің толық бетінің ауданын (см$^2$) табыңыз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №8. $KLM$ үшбұрышында $K$ төбесінен $LM$ қабырғасына жүргізілген медиана $KL$ қабырғасынан төрт есе кіші және онымен $60^\circ$ бұрыш жасайды. $\angle LKM$ неше градусқа тең?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №9. Сүйір бұрышты $ABC$ үшбұрышында $AK$ және $BL$ биіктіктері $H$ нүктесінде қиылысады. $ACB$ бұрышының биссектрисасы $BL$ түзуін $E$ нүктесінде қиып өтеді. Егер $\angle AHB=130^\circ$ болса, $\angle CEB$ бұрышы неше градусқа тең?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №10. Натурал $A$ санының дәл $24$ түрлі бөлгіші бар ($1$ мен $A$-ның өзін қоса есептегенде). Осы бөлгіштердің барлығының көбейтіндісі $A^{n}$ санына тең. $n$ санын табыңыз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №11. Алтыбұрыш төрт фигурадан құралған: екі тік тіктөртбұрыш және екі тікбұрышты үшбұрыш. Суретте үш фигураның ішіне олардың аудандары жазылған. $A$ әрпімен белгіленген үшбұрыштың ауданын табыңыз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №12. $n^2+n+11$ саны құрама сан болатындай $n$-нің ең кіші натурал мәнін табыңыз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №13. Кез келген натурал $n$ үшін $a_{n+1}=a_n+13$ теңдігі орындалатын $a_1,a_2,\ldots$ тізбегі берілген. Егер $a_1=2$ болса, $a_1+a_3+a_5+\ldots+a_{15}$ қосындысын табыңыз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №14. Әртүрлі $n$ натурал сан берілген. Бұл сандарды қосындылары тең болатын $4$ топқа бөлу мүмкін емес, бірақ бір санды алып тастағанда, қалғандарын қосындылары тең болатын $3$ топқа бөлуге болады. $n$-нің ең кіші мүмкін мәнін табыңыз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №15. $A=\left(3-\frac{3}{2}\right)\cdot\left(3-1\right)\cdot\left(3-\frac{3}{4}\right)\cdot\left(3-\frac{3}{5}\right)\cdots\left(3-\frac{1}{9}\right)$ болсын. $A$ өрнегіндегі жақшалардағы заңдылықты анықтап, $\frac{A}{3^{20}}$ өрнегінің мәнін табыңыз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №16. Өлшемі $n\times n$ өлшемді кестенің жолдары мен бағандары $1$-ден $n$-ге дейінгі натурал сандармен нөмірленген. Жол мен бағанның қиылысындағы ұяшыққа сол жол мен баған нөмірлерінің көбейтіндісіне тең сан жазылған. Мысалы, үшінші жол мен төртінші бағанның қиылысында $12$ саны жазылған. Егер кестедегі барлық сандардың қосындысы $8281$-ге тең болса, $n$-ді табыңыз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №17. Суретте қабырғаларының қатынасы $2{:}1$ болатын бірінші тіктөртбұрыш $A$ төбесінде бірдей екі тіктөртбұрышпен ортақ төбеге ие. Екінші тіктөртбұрыштың $F$ төбесі $CD$ қабырғасында, ал үшіншісінің $E$ төбесі екінші тіктөртбұрыштың қабырғасында жатыр. $\angle EFD$ неше градусқа тең?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №18. Алты цифрлы дисплейі бар электронды сағат берілген. Ол уақытты $00{:}00{:}00$-ден $23{:}59{:}59$-ға дейін СС:ММ:СС форматында көрсетеді. Тәулігіне неше рет сағат көрсеткіші солдан оңға және оңнан солға бірдей оқылатын алты таңбалы сан құрайды?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №19. Шеңбер бойына бірнеше бүтін сан жазылған, олардың ешқайсысы $1$-ге тең емес. Әрбір сан өзінен кейін сағат тілі бағытымен орналасқан екі санның айырымының модуліне тең. Барлық сандардың қосындысы $246$-ға тең. Шеңбер бойына ең көп дегенде неше сан жазылуы мүмкін?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №20. Кез келген қатар тұрған үш санның қосындысы $3$-ке бөлінетіндей етіп, 1, 2, 3, 4, 5, 6 сандарын бір қатарға неше әдіспен жаза аламыз?
комментарий/решение
комментарий/решение