9-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 1 тур

Задача №1. Если натуральное число разделить на 2024, то остаток будет равен 1024. Какой остаток получится, если это число разделить на 23?
комментарий/решение

Задача №2. Арману и его папе вместе 58 лет, а его папе и его дедушке – 115 лет. Сколько лет было дедушке, когда родился Арман?
комментарий/решение

Задача №3. В компьютерной игре игрок может разрушить башню противника за 60 ударов. Если игрок увеличит урон на $50\%$, а противник поставит на башню шит, уменьшающий входящий урон на $50\%$, то за сколько ударов теперь игрок сможет разрушить башню?
комментарий/решение

Задача №4. Грузовой поезд выехал со станции «Махаббат» в 06:00 утра в направлении станции «Болашак» со скоростью 70 км/ч. В 09:00 утра со станции «Болашак» навстречу ему выехал пассажирский поезд со скоростью 100 км/ч. В 15:00 того же дня грузовой поезд прибыл на станцию «Болашак». Сколько километров оставалось проехать пассажирскому поезду до станции «Махаббат» в момент прибытия грузового поезда?
комментарий/решение

Задача №5. Даны три последовательных натуральных числа. Найдите сумму этих трёх чисел, если куб среднего из них на 247 больше произведения всех трёх чисел.
комментарий/решение

Задача №6. В каждую клетку таблицы размером $3\times 4$ вписано натуральное число. Суммы чисел в каждой строке одинаковы, и суммы чисел в каждом столбце также одинаковы. На рисунке некоторые числа уже указаны. Какое число стоит в клетке с вопросительным знаком?

комментарий/решение

Задача №7. У Санжара есть два одинаковых кирпича в форме прямоугольного параллелепипеда. Он кладёт их рядом друг с другом, соприкасающимися одной из граней, как показано на рисунке. Площади полных поверхностей трёх получившихся тел составляют 72 см$^2$, 96 см$^2$ и 102 см$^2$ соответственно. Найдите площадь полной поверхности одного кирпича (в см$^2$).

комментарий/решение

Задача №8. В треугольнике $KLM$ медиана, проведённая из вершины $K$ к стороне $LM$, в четыре раза меньше стороны $KL$ и образует с ней угол $60^\circ$. Скольким градусам равен угол $LKM$?
комментарий/решение

Задача №9. Высоты $AK$ и $BL$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Биссектриса угла $ACB$ пересекает прямую $BL$ в точке $E$. Скольким градусам равен угол $CEB$, если $\angle AHB=130^\circ$?
комментарий/решение

Задача №10. Натуральное число $A$ имеет ровно 24 различных делителя (включая $1$ и само число $A$). Произведение всех этих делителей равно числу $A^{n}$. Найдите $n$.
комментарий/решение

Задача №11. Шестиугольник составлен из четырех фигур: двух прямоугольников и двух прямоугольных треугольников. На рисунке внутри трёх фигур написаны их площади. Какую площадь имеет треугольник, обозначенный через $A$?

комментарий/решение

Задача №12. Найдите наименьшее натуральное значение $n$, при котором число $n^2+n+11$ является составным.
комментарий/решение

Задача №13. Дана последовательность $a_1, a_2, \ldots$, для которой при любом натуральном $n$ выполняется равенство $a_{n+1}=a_n+13$. Найдите сумму $a_1+a_3+a_5+\ldots+a_{15}$, если $a_1=2$.
комментарий/решение

Задача №14. Даны $n$ различных натуральных чисел. Известно, что нельзя разбить эти числа в 4 группы так, чтобы сумма чисел в этих группах были равны, но, убрав одно число, можно разделить на три группы с равными суммами. Найдите наименьшее возможное значение $n$.
комментарий/решение

Задача №15. Пусть $A=\left(3 - \frac{3}{2}\right)\cdot \left(3 - 1\right)\cdot \left(3 - \frac{3}{4}\right)\cdot \left(3 - \frac{3}{5}\right) \cdots \left(3 - \frac{1}{9}\right).$ Определив закономерность в скобках в $A$, найдите значение выражения $\frac{A}{3^{20}}$.
комментарий/решение

Задача №16. Строки и столбцы таблицы $n\times n$ пронумерованы натуральными числами от 1 до $n$. В клетке на пересечении одной строки и одного столбца записали число, равное произведению соответствующих номеров этой строки и столбца. Например, в клетке на пересечении третьей строки и четвёртого столбца записано число 12. Найдите $n$, если сумма всех чисел в таблице равна 8281.
комментарий/решение

Задача №17. На рисунке первый прямоугольник с соотношением сторон 2:1 имеют общую вершину $A$ с двумя остальными такими же прямоугольниками. Вершина $F$ второго из них лежит на стороне $CD$, а вершина $E$ третьего лежит на стороне второго. Скольким градусам равен $\angle EFD$?

комментарий/решение

Задача №18. Имеются электронные часы с 6-циферным дисплеем. Они показывают время в формате ЧЧ:ММ:СС от 00:00:00 до 23:59:59. Сколько раз в сутки показания часов образуют шестизначное число, которое читается одинаково слева направо и справа налево?
комментарий/решение

Задача №19. По кругу записаны несколько целых чисел, каждое из которых не равно 1. Каждое число в круге равно модулю разности двух следующих за ним по часовой стрелке чисел. Сумма всех чисел равна 246. Какое наибольшее количество чисел могло быть записано по кругу?
комментарий/решение

Задача №20. Сколькими способами можно записать в ряд числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, чтобы сумма любых трёх подряд идущих чисел делилась на 3?
комментарий/решение