Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2026 год

Есеп №1. Төрт оқушы тақтадағы төрт таңбалы санды дәптерлеріне қате жазып алды: бірінші оқушы бірінші цифрын, екіншісі екінші цифрын, үшіншісі үшінші цифрын, ал төртіншісі төртінші цифрын жіберіп жазды. Осылайша әрқайсысында үш таңбалы сан шықты. Олардың дәптерлеріндегі үш таңбалы төрт санның қосындысы $2026$-ға тең болуы мүмкін бе? (Тақтадағы санның цифрларының ішінде $0$ жоқ деп есептеңіз.)
комментарий/решение

Есеп №2. Дөңес $ABCD$ төртбұрышында $E$ нүктесі $AB$ қабырғасының ортасы, $F$ — $BD$ және $CE$ кесінділерінің қиылысу нүктесі. $\angle BAD =60^\circ$, $\angle CEB=70^\circ$, $\angle DFC=80^\circ$, $\angle ECB = 55^\circ$ болса, $\angle BDC$ неше градусқа тең болуы мүмкін?
комментарий/решение

Есеп №3. $a$, $b$ және $c$ бүтін сандары келесі шарттарды қанағаттандырады: $$a b + c = 20, \ b c + a = 26, \ c a + b = 526.$$ $ab + bc + ca$ өрнегінің мәнін табыңыз.
комментарий/решение

Есеп №4. $2026 \times 2026$ тақтада бірнеше ладья орналастырылған. Ешбір ладья дәл сондай түсті басқа ладьяны соқпайтындай етіп, барлық ладьяларды үш түске бояуға болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение

Есеп №5. $8 \times 8$ шахмат тақтасының төменгі қатарындағы $P$ ұяшығында бір фишка тұр (суретке қараңыз). Әр жүрісте фишканы диагональ бойынша орналасқан жоғарыдағы ақ ұяшықтардың біріне, бір ұяшыққа ғана, жылжытуға болады. $P$ нүктесінен $Q$ нүктесіне $7$ жүріспен жетудің неше түрлі жолы бар? (Суретте осындай жолдардың біреуі көрсетілген.)

комментарий/решение

Есеп №6. Алаңда 64 жылқы бар. Олардың жылдамдықтары әртүрлі бірақ тұрақты (алаңдағы адамдарға жылқылардың жылдамдықтары белгісіз). Жүгіру алаңына дәл 4 жылқыдан жарыстыруға болады. Жылқылардың қайсысы мәреге қандай орынмен жеткенін белгілеп отыруға болады. Кем дегенде неше жарыс өткізу арқылы, ең тез жүгіретін екі жылқыны табуға болады?
комментарий/решение

Есеп №7. $ABC$ үшбұрышында $BD$ биссектрисасы одан теңбүйірлі $BCD$ үшбұрышын бөліп алады, ал $CE$ биссектрисасы $ABC$ үшбұрышынан доғал бұрышты теңбүйірлі $ACE$ үшбұрышын бөліп алады. $ABC$ үшбұрышының бұрыштарын табыңыз.
комментарий/решение

Есеп №8. Натурал $n$ саны және нөлге тең емес $a_1, a_2, \ldots, a_n$ бүтін сандары берілген. Кез келген ${i}, {j}, {k} \in \{1,2,\ldots,n\}$ индекстері үшін (олар бірдей индекстер болуы мүмкін) $a_i a_j a_k$ саны $\left(3a_i + 4a_j - 5a_k\right)$ санына бөлінетіні белгілі. Кез келген ${i}, {j}, {k}$ үшін $$ 3a_j + 4a_i - 5a_k,\quad 3a_k + 4a_j - 5a_i,\quad 3a_i + 4a_k - 5a_j$$ үш санның кем дегенде біреуі $4$-ке бөлінетінін дәлелдеңіз.
комментарий/решение