қазақша
русскийХакимгали А.
Задача №1. В выпуклом четырехугольнике $ABCD$, $E$ — середина $AB$, $F$ — пересечение отрезков $BD$ и $CE$. Оказалось, что $\angle BAD =60^\circ, \angle CEB=70^\circ, \angle DFC=80^\circ, \angle ECB = 55^\circ.$ Чему может быть равен $\angle BDC$? ( Бейганов Б., Хакимгали А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2. Назовём натуральное число $n$ красивым, если при записи чисел ${n^2+1}$ и $n^2$ друг за другом в указанном порядке, полученное новое число является полным квадратом.
а) Приведите пример красивого числа.
б) Верно ли, что красивых чисел бесконечно много? ( Хакимгали А. )
комментарий/решение(5) олимпиада
Задача №3. На доске выписано $n \geqslant 2$ цифр (среди которых есть по крайней мере одна ненулевая; и цифры не обязательно различны). В тетрадь записали сумму всех попарных произведений этих цифр. Может ли Абулмансур составить из всех выписанных на доске цифр натуральное число, которое в точности равно числу, записанному в тетради? ( Хакимгали А. )
комментарий/решение(1) олимпиада