қазақша
русскийОбластная олимпиада по математике, 2026 год, 9 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Комиссия по составлению задач состоит из нескольких авторов. Известно, что среди любых двух авторов только один доверяет другому. Каждый день каждый автор придумывает одну новую задачу и оправляет ее всем, кому доверяет, вместе со всеми задачами, полученными до этого дня (задачи, которые получил сегодня, не отправляет). Докажите, что если в третий день некий автор не получит обратно свою задачу, отправленную первый день, то существует задача, которая доходит не до всех авторов.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. В треугольнике $ABC$, в котором $AC > BC$, точка $K$ симметрична точке $A$ относительно его биссектрисы $CD$. $L$ такая точка, что $BDCL$ — параллелограмм, а $H$ — основание перпендикуляра, проведённой из точки $C$ на прямую $BL$. Пусть прямые $AH$ и $CL$ пересекаются в точке $M$. Докажите, что прямые $CD$ и $KM$ параллельны.
(
Жеңісбек Б.
)
комментарий/решение(6)
комментарий/решение(6)
Задача №3. Найдите все квадратные трёхчлены $P(x)$ и $Q(x)$ с действительными коэффициентами такие, что $P(1)=5$, $Q(1)=6$ и $$P(x) - xQ(x) + x + 1 \ \text{ делится на } x^2 - x + 1;$$ $$xP(-x) + Q(-x) + x - 1 \ \text{ делится на } x^2 + x + 1.$$ Считается, что для многочленов с действительными коэффициентами $f(x)$ делится на $g(x)$, где $g(x)$ тождественно не равен нулю, если существует такой многочлен $q(x)$ с действительными коэффициентами, что $f(x)=g(x)\cdot q(x)$.
(
Абдыкулов А.
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №4. Даны две непересекающиеся окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно. Пусть $AB$ — отрезок общего внешнего касательного к $\omega_1$ и $\omega_2$. Из точки $M$ отрезка $AB$ проведены касательные $MP$ и $MQ$ к $\omega_1$ и $\omega_2$ соответственно (здесь точки $A$, $P$ лежат на $\omega_1$, а точки $B$, $Q$ — на $\omega_2$). Докажите, что если $\angle AMP=\angle BMQ$, то прямые $AQ$, $BP$ и $O_1O_2$ пересекаются в одной точке.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №5. На доске записаны числа 1, 2, 3, $\ldots$, 2026. Елдана и Еламан играют в следующую игру. Игру начинает Еламан, далее ходят по очереди. За один ход игрок выбирает любые два числа $m$ и $n$ с доски, стирает их и вместо них записывает число $m^n$. Игра продолжается до тех пор, пока на доске не останется одно число. Если это число оканчивается цифрой 2, 3, 7 или 8, то выигрывает Еламан; в противном случае выигрывает Елдана. Кто выиграет при правильной игре?
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №6. Решите в натуральных числах уравнение $x^4+y^4=n!+2026$.
(
С. Мейрам
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)