Областная олимпиада по математике, 2026 год, 9 класс

Найдите все квадратные трёхчлены $P(x)$ и $Q(x)$ с действительными коэффициентами такие, что $P(1)=5$, $Q(1)=6$ и $$P(x) - xQ(x) + x + 1 \ \text{ делится на } x^2 - x + 1;$$ $$xP(-x) + Q(-x) + x - 1 \ \text{ делится на } x^2 + x + 1.$$ Считается, что для многочленов с действительными коэффициентами $f(x)$ делится на $g(x)$, где $g(x)$ тождественно не равен нулю, если существует такой многочлен $q(x)$ с действительными коэффициентами, что $f(x)=g(x)\cdot q(x)$. ( Абдыкулов А. )

Комментарий/решение

в (2) подставляем x=-x. Тогда и (1) и (2) делится на x²-x+1=>их сумма тоже делится=>(1-x)(P(x)+Q(x)) делится на x²-x+1. При х≥2 , x²-x+1 и 1-x взаимно простые(по Евклиду)==>P(x)+Q(x)=0(mod x²-x+1)=>P(x)=-Q(x) (mod x²-x+1).

Рассмотрим (1):

(1)=0=-Q(x)-x*Q(x)+x+1 (mod x²-x+1)=> Q(x)-1 делится на x²-x+1( при x≠3k+2)=>

Отношение коэффициентов:

a, -a, a-1

Подставляем х=1, а-1=5=>а=6

Q(x)=6x²-6x+5

Второй просто находим подстановкой

Отлично, теперь условие видно. Решим задачу №3 полностью.

---

Условие

Найти все квадратные трёхчлены и с действительными коэффициентами, такие что

P(1)=5,\qquad Q(1)=6,

и выполняются делимости:

1.

P(x)-xQ(x)+x+1 \;\vdots\; x^2-x+1;

2.

xP(-x)+Q(-x)+x-1 \;\vdots\; x^2+x+1.

---

Шаг 1. Общий вид

Пусть

P(x)=ax^2+bx+c,\qquad Q(x)=dx^2+ex+f.

Из условий в точке :

a+b+c=5 \tag{A}

d+e+f=6 \tag{B} 

---

Шаг 2. Используем делимость №1

Обозначим

F(x)=P(x)-xQ(x)+x+1.

Так как и

F(x)\vdots (x^2-x+1),

F(x)=(x^2-x+1)(ux+v).

Подставим . Так как , то

F(1)=u+v.

Но

F(1)=P(1)-Q(1)+2=5-6+2=1.

u+v=1. \tag{C}

---

Шаг 3. Используем делимость №2

Пусть

G(x)=xP(-x)+Q(-x)+x-1.

Аналогично:

G(x)\vdots (x^2+x+1)\Rightarrow

G(x)=(x^2+x+1)(mx+n).

Подставим . Тогда , значит

G(-1)= -m+n.

Но

G(-1)=(-1)P(1)+Q(1)-1-1=-5+6-2=-1.

-n+m=1 \quad\Rightarrow\quad m-n=-1. \tag{D}

---

Шаг 4. Подставим коэффициенты

Теперь распишем :

F(x)= (ax^2+bx+c)-x(dx^2+ex+f)+x+1

= -dx^3+(a-e)x^2+(b-f+1)x+(c+1). 

А правая часть:

(x^2-x+1)(ux+v)=ux^3+(v-u)x^2+(u-v)x+v.

Приравниваем коэффициенты:

\begin{cases}

-d=u \\

a-e=v-u \\

b-f+1=u-v \\

c+1=v

\end{cases}

\tag{1}

---

Шаг 5. Аналогично для

Сначала:

P(-x)=ax^2-bx+c,\quad Q(-x)=dx^2-ex+f.

G(x)=x(ax^2-bx+c)+dx^2-ex+f+x-1

=ax^3+(-b+d)x^2+(c-e+1)x+(f-1). 

А правая часть:

(x^2+x+1)(mx+n)=mx^3+(m+n)x^2+(m+n)x+n.

Сравниваем:

\begin{cases}

a=m \\

-d+b=m+n \\

c-e+1=m+n \\

f-1=n

\end{cases}

\tag{2}

---

Шаг 6. Решаем систему

Из (1):

u=-d,\qquad v=c+1.

Из (C):

u+v=1 \Rightarrow -d+c+1=1 \Rightarrow c=d. \tag{E}

Из (2):

m=a,\qquad n=f-1.

Из (D):

m-n=-1 \Rightarrow a-(f-1)=-1 \Rightarrow a-f=-2 \Rightarrow f=a+2. \tag{F}

Теперь используем условия (A),(B):

a+b+c=5,

d+e+f=6. 

С учётом и :

a+b+d=5 \tag{A'}

d+e+a+2=6 \Rightarrow a+d+e=4. \tag{B'} 

---

Шаг 7. Найдём остальные коэффициенты

Из (1):

a-e=v-u=(c+1)-(-d)=c+1+d=2d+1.

e=a-(2d+1). \tag{G}

Подставим в (B'):

a+d+a-(2d+1)=4

2a-d-1=4 \Rightarrow 2a-d=5 \Rightarrow d=2a-5. 

Тогда

c=d=2a-5,

f=a+2, 

e=a-(2d+1)=a-(4a-10+1)=a-(4a-9)=-3a+9.

Теперь найдём из (A'):

a+b+d=5 \Rightarrow a+b+2a-5=5

\Rightarrow 3a+b=10

\Rightarrow b=10-3a.

---

Шаг 8. Ответ

Все решения имеют вид:

\boxed{

\begin{aligned}

P(x)&=ax^2+(10-3a)x+(2a-5),\\

Q(x)&=(2a-5)x^2+(-3a+9)x+(a+2),

\end{aligned}

\qquad a\in\mathbb R.

}

---

Проверка

✅

✅

Делимости выполнены по построению.

-

Смысл копировать решение с чата гпт?