Областная олимпиада по математике, 2026 год, 9 класс

Найдите все квадратные трёхчлены $P(x)$ и $Q(x)$ с действительными коэффициентами такие, что $P(1)=5$, $Q(1)=6$ и $$P(x) - xQ(x) + x + 1 \ \text{ делится на } x^2 - x + 1;$$ $$xP(-x) + Q(-x) + x - 1 \ \text{ делится на } x^2 + x + 1.$$ Считается, что для многочленов с действительными коэффициентами $f(x)$ делится на $g(x)$, где $g(x)$ тождественно не равен нулю, если существует такой многочлен $q(x)$ с действительными коэффициентами, что $f(x)=g(x)\cdot q(x)$. ( Абдыкулов А. )

Комментарий/решение

в (2) подставляем x=-x. Тогда и (1) и (2) делится на x²-x+1=>их сумма тоже делится=>(1-x)(P(x)+Q(x)) делится на x²-x+1. При х≥2 , x²-x+1 и 1-x взаимно простые(по Евклиду)==>P(x)+Q(x)=0(mod x²-x+1)=>P(x)=-Q(x) (mod x²-x+1).

Рассмотрим (1):

(1)=0=-Q(x)-x*Q(x)+x+1 (mod x²-x+1)=> Q(x)-1 делится на x²-x+1( при x≠3k+2)=>

Отношение коэффициентов:

a, -a, a-1

Подставляем х=1, а-1=5=>а=6

Q(x)=6x²-6x+5

Второй просто находим подстановкой

Ответ: $P(x) = 6x^2 - 6x +5$ и $Q(x) = 5x^2 -5x +6$

Во вторую делимость подставим $-x:$ $-xP(x) +Q(x)-x-1$ делится на $x^2 -x +1$ Суммируем с делимостью $1:$ $$x^2 -x +1 \mid (1-x)(P(x) + Q(x)) $$ Так как у $1-x$ и $x^2 -x +1$ нет общих корней то: $$x^2 -x +1 \mid P(x) + Q(x) $$ Подставляя в делимость $1$ и так как у $x+1$ и $x^2 -x +1$ нет общих корней то: $$x^2 -x +1 \mid P(x) + 1 = ax^2 + bx +c+1$$ $$\Leftrightarrow$$ $$nx^2 -nx +n = ax^2 + bx +c+1 $$ $ \forall x \in \mathbb{R} $ , тогда $a=n,b=-n,c=n-1$ и так как $P(1) = a+b+c = n-1 =5$ $\Rightarrow$ $n=6$ $\Rightarrow$ $P(x) = 6x^2 - 6x +5$

Аналогично так как:$$x^2 -x +1 \mid Q(x) - 1 = a_1x^2 + b_1x +c_1-1$$ имеем $Q(x) = 5x^2 -5x +6$ что подходит.