Областная олимпиада по математике, 2026 год, 9 класс

На доске записаны числа 1, 2, 3, $\ldots$, 2026. Елдана и Еламан играют в следующую игру. Игру начинает Еламан, далее ходят по очереди. За один ход игрок выбирает любые два числа $m$ и $n$ с доски, стирает их и вместо них записывает число $m^n$. Игра продолжается до тех пор, пока на доске не останется одно число. Если это число оканчивается цифрой 2, 3, 7 или 8, то выигрывает Еламан; в противном случае выигрывает Елдана. Кто выиграет при правильной игре?

Комментарий/решение

Ответ: выйграет Елдана.

Решение: Найдем для неё стратегию. Назовем изначально числа заканчивающиеся на $2,3,7,8$ - числами Еламана, а остальные - числами Елданы. Если рассмотреть циклы степеней чисел Елданы, то в них не найдется чисел Еламана:

$0 \rightarrow 0$

$1 \rightarrow 1$

$4 \rightarrow 6 \rightarrow 4$

$5 \rightarrow 5$

$6 \rightarrow 6$

$9 \rightarrow 1 \rightarrow 9$.

Тогда пусть Елдана первые ходы будет смешивать числа Еламана со своими так чтобы число Еламана было степенью и получилось бы число Елданы. Легко понять, что чисел Елданы $>$ чисел Еламана, и кол-во чисел Еламана при любой такой операций нельзя увеличить ведь если смешать $2$ числа Елданы всегда выходит число Елданы, а если смешать $1$ из чисел Еламана, то кол-во может наоборот даже уменьшится. Значит когда нибудь, Елдана сможет уничтожить все числа Еламана и из оставшихся чисел Елданы никак не получить число Еламана, ч.т.д.

Ответ:выиграет Елдана

Стратегия Елданы: Среди чисел от 1 до 2026 есть много чисел, оканчивающихся на 5 (5, 15, 25...) и четных чисел (2, 4, 6...).

​Если мы возведем любое число, оканчивающееся на 5, в любую степень (больше 1), результат всегда будет оканчиваться на 5.

​Пример: 5^2 = 25, 5^3 = 125, 15^2 = 225.

​Ход Елданы: Елдане достаточно при первой же возможности выбрать число m = 5 (или любое число, кратное 5, но не 10) и возвести его в степень любого другого числа n с доски. Полученное число снова будет оканчиваться на 5.Далее, какой бы ход ни сделал Еламан, Елдана может продолжать "поглощать" оставшиеся числа, используя свое число, оканчивающееся на 5, в качестве основания (m). Любое число в степени 5 или 5 в любой степени (кроме степени 0, которой тут нет) никогда не даст на конце 2, 3, 7 или 8.

​2)На доске есть числа, кратные 10 (например, 10, 20...). Если любое число m, оканчивающееся на 0, возвести в степень n (n > 1), результат всегда будет оканчиваться на 0. Число 0 не входит в выигрышный список Еламана.

Ответ: Елдана выиграет.

Решение. Назовём числа, оканчивающиеся на 0, 1, 4, 5, 6, 9, хорошими.

Заметим, что хорошее число в любой степени также будет

хорошим числом. Легко заметить, что хороших чисел больше, чем

нехороших. Приведём стратегию для Елданы, придерживаясь которой

она может выиграть. Каждым своим ходом она выбирает одно

хорошее число m и (если есть) одно нехорошее число n, и записывает

вместо них число mn. При этом число mn также является

хорошим. Таким образом, количество нехороших чисел постепенно

уменьшается. Следовательно, в конце останется хорошее число. Таким

образом, выигрывает Елдана.