Областная олимпиада по математике, 2026 год, 9 класс

Тақтада $1, 2, 3, \ldots, 2026$ сандары жазылған. Елдана мен Еламан келесі ойынды ойнайды. Ойынды Еламан бастайды, одан кейін кезектесіп жүреді. Әр жүрісте ойыншы тақтадан кез келген $m$ және $n$ сандарын таңдап, оларды өшіріп, тақтаға $m^n$ санын жазады. Тақтада бір сан қалмайынша ойын жалғаса береді. Егер соңында тақтада соңғы цифры 2, 3, 7 немесе 8 болатын сан қалса, Еламан жеңеді, ал басқа жағдайда Елдана жеңеді. Дұрыс ойында кім жеңеді?

Комментарий/решение

Ответ: выйграет Елдана.

Решение: Найдем для неё стратегию. Назовем изначально числа заканчивающиеся на $2,3,7,8$ - числами Еламана, а остальные - числами Елданы. Если рассмотреть циклы степеней чисел Елданы, то в них не найдется чисел Еламана:

$0 \rightarrow 0$

$1 \rightarrow 1$

$4 \rightarrow 6 \rightarrow 4$

$5 \rightarrow 5$

$6 \rightarrow 6$

$9 \rightarrow 1 \rightarrow 9$.

Тогда пусть Елдана первые ходы будет смешивать числа Еламана со своими так чтобы число Еламана было степенью и получилось бы число Елданы. Легко понять, что чисел Елданы $>$ чисел Еламана, и кол-во чисел Еламана при любой такой операций нельзя увеличить ведь если смешать $2$ числа Елданы всегда выходит число Елданы, а если смешать $1$ из чисел Еламана, то кол-во может наоборот даже уменьшится. Значит когда нибудь, Елдана сможет уничтожить все числа Еламана и из оставшихся чисел Елданы никак не получить число Еламана, ч.т.д.

Ответ:выиграет Елдана

Стратегия Елданы: Среди чисел от 1 до 2026 есть много чисел, оканчивающихся на 5 (5, 15, 25...) и четных чисел (2, 4, 6...).

​Если мы возведем любое число, оканчивающееся на 5, в любую степень (больше 1), результат всегда будет оканчиваться на 5.

​Пример: 5^2 = 25, 5^3 = 125, 15^2 = 225.

​Ход Елданы: Елдане достаточно при первой же возможности выбрать число m = 5 (или любое число, кратное 5, но не 10) и возвести его в степень любого другого числа n с доски. Полученное число снова будет оканчиваться на 5.Далее, какой бы ход ни сделал Еламан, Елдана может продолжать "поглощать" оставшиеся числа, используя свое число, оканчивающееся на 5, в качестве основания (m). Любое число в степени 5 или 5 в любой степени (кроме степени 0, которой тут нет) никогда не даст на конце 2, 3, 7 или 8.

​2)На доске есть числа, кратные 10 (например, 10, 20...). Если любое число m, оканчивающееся на 0, возвести в степень n (n > 1), результат всегда будет оканчиваться на 0. Число 0 не входит в выигрышный список Еламана.