Областная олимпиада по математике, 2026 год, 9 класс

Решите в натуральных числах уравнение $x^4+y^4=n!+2026$. ( С. Мейрам )

Комментарий/решение

Если $n≥5 \Rightarrow n!+2026 \equiv 10 \pmod {16}$ $x^4,y^4\equiv0,1 \pmod{16}$ что значит $n≤4$ расматриваем все 4 случая и получаем что ответа нет

На самом деле там получается что $n \leq 5$ т.к. $ 16 \nmid 24$

Рассмотрим (mod 13).

x⁴,y⁴≡0,1,3,9.

2026≡11 если n>=13,то n!≡0.

x⁴+y⁴≡11,это невозможно значит n<13.

Перебрав все возможные варианты n, мы убедимся что в этом уравнений нету натуральных значений x и y.

Допустим,n>5:

Очевидно,что n! делится на 16 и правая часть по mod 16 дает остаток 10.Поймем,что x,y не могут быть четными,так как иначе левая часть делится на 16,а правая часть нет.Тогда легко понять,что x⁴+y⁴ по mod 16 дает остаток 2 а правая часть 10.Отсюда n<=5.Дальше перебором можно понять,что решений нет

перед тем как пишешь решение посмотри другие, может у тебя совпадает