Областная олимпиада по математике, 2026 год, 9 класс

Решите в натуральных числах уравнение $x^4+y^4=n!+2026$. ( С. Мейрам )

Комментарий/решение

Если $n≥5 \Rightarrow n!+2026 \equiv 10 \pmod {16}$ $x^4,y^4\equiv0,1 \pmod{16}$ что значит $n≤4$ расматриваем все 4 случая и получаем что ответа нет

На самом деле там получается что $n \leq 5$ т.к. $ 16 \nmid 24$

Ответ: Уравнение не имеет решений в натуральных числах.

Решение. Рассмотрим целое число a. Если a = 2k — чётное число,

то a

4 = 16k

4 делится на 16, а если a = 2k + 1 — нечётное, то

a

4 − 1 = (a

2 − 1)(a

2 + 1) = 8k(k + 1)(2k

2 + 2k + 1)

делится на 16. Это означает, что при делении четвертой степени

числа на 16 остаток равен 0 или 1. Следовательно, x

4 +y

4 ≡ 0, 1 или

2 (mod 16). Предположим, что данное уравнение имеет решение в

натуральных числах.

Если n ≥ 6, то n!

.

.

.16. Тогда n! + 2026 ≡ 0 + 10 ≡ 10 (mod 16), в

то время как x

4 + y

4 ≡ 0, 1 или 2 (mod 16). Поэтому, в этом случае

x

4 + y

4 ̸= n! + 2026.

Если n ≤ 5, то

x

4 + y

4 = n! + 2026 ≤ 120 + 2026 = 2146 < 2401 = 74 ⇒ x, y ≤ 6.

Случай x = y = 6 невозможен, так как

6

4 + 64 = 2592 > 2146 ≥ n! + 2026.

В остальных случаях получим противоречие

6

4 + 54 = 1921 ≥ x

4 + y

4 = n! + 2026 > 2026.