Республиканская олимпиада по математике, 2002 год, 11 класс

Задача №1. Пусть

$O$ — центр вневписанной окружности треугольника

$ABC$ , касающейся стороны

$BC$ . Пусть

$M$ — середина

$AC$ , и

$P$ — точка пересечения

$MO$ и

$BC$ . Докажите, что

$AB=BP$ , если

$\angle BAC=2\angle ACB$ .
комментарий/решение(1)

Задача №2. Докажите, что для любых действительных чисел

$x_1$ ,

$x_2$ ,

$\dots$ ,

$x_{n}$ справедливо неравенство:

$\frac{x_1}{1+{x_1}^{2}}+\frac{x_2}{1+{x_1}^{2} +{x_2}^{2}}+\dots +\frac{x_n}{1+{x_1}^2+ \dots +{x_n}^2} < \sqrt n.$
комментарий/решение

Задача №3. Дана последовательность целых чисел

$A=(a_1$ ,

$a_2$ ,

$\dots$ ,

$a_{2001})$ (возможно с равными членами). Обозначим через

$m$ количество троек (

$a_{i}$ ,

$a_{j}$ ,

$a_{k})$ , где

$1 \leq i < j < k \leq 2001$ , таких что

$a_{j}=a_{i}+$ 1 и

$a_{k}=a_{j}+1$ . Найдите максимально возможное значение

$m$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. Докажите, что существует множество

$A$ состоящее из 2002 различных натуральных чисел, удовлетворяющее условию: для каждого

$a\in A$ произведение всех чисел из

$A$ , кроме

$a$ , при делении на

$a$ дает остаток 1.
комментарий/решение

Задача №5. На плоскости дан остроугольный треугольник

$ABC$ . Пусть

$A_1$ и

$B_1$ — основания высот опущенных из вершин

$A$ и

$B$ соответственно. Касательные в точках

$A_1$ и

$B_1$ , проведенные к окружности описанной около треугольника

$CA_1B_1$ пересекаются в точке

$M$ . Докажите, что окружности, описанные около треугольников

$AMB_1$ ,

$BMA_1$ и

$CA_1B_1$ имеют общую точку.
комментарий/решение(2)

Задача №6. Найдите все многочлены

$P(x)$ с вещественными коэффициентами, удовлетворяющие тождеству

$P(x^2)=P(x)P(x+1)$ .
комментарий/решение(3)

Задача №7. Докажите, что при любых целых

$n > m > 0$ число

$2^n-1$ имеет простой делитель, не делящий

$2^m-1$ .
комментарий/решение(1)

Задача №8. В ряд выстроены

$n$ кузнечиков. В любой момент разрешается одному кузнечику перепрыгнуть ровно через двух кузнечиков стоящих справа или слева от него. При каких

$n$ кузнечики могут перестроиться в обратном порядке? ( А. Кунгожин )
комментарий/решение(1)