Республиканская олимпиада по математике, 2002 год, 11 класс

Дана последовательность целых чисел $A=(a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_{2001})$ (возможно с равными членами). Обозначим через $m$ количество троек ($a_{i}$, $a_{j}$, $a_{k})$, где $1 \leq i < j < k \leq 2001$, таких что $a_{j}=a_{i}+$1 и $a_{k}=a_{j}+1$. Найдите максимально возможное значение $m$.

Комментарий/решение

Так как числа $i,j,k$ расположены строго по возрастанию и $a_{j}=a_{i}+1, a_{k}=a_{i}+2$ то задача сводится к тому что требуется разбить число $2001$ на $n$ количество ненулевых слагаемых и найти максимальную сумму всех "троичных" произведений взятых последовательно, к примеру для числа $12=2+3+3+4$ равна $S=2 \cdot 3 \cdot 3 + 3 \cdot 3 \cdot 4$.

Для $x=3$ слагаемых , пусть $a+b+c=2001$ откуда $ab(2001-a-b) \leq ab(2001-2\sqrt{ab}) =t^2(2001-2t) \leq 667^3$ при $t=667$, докажем что для $x \geq 4$ слагаемых $S$ будет меньше, пусть $(1, \ 1 ,\ 1 ... \ a, \ a, \ a, \ 1, ... 1)$ где числа, количество слагаемых на которые разделили число $2001$, возьмем другое с увеличенной на $1$ набор $(1, \ 1 ,\ 1 ... \ a, \ a, \ a, \ 1, ... 1, 1)$ тогда произведя операцию умножения и вычитывая первое от второго получаем $a(a+1)>0$, теперь внутри некоторого набора увеличим ближайшее слагаемое $(1, \ 1...\ 1 \ a-1, \ a, \ a, \ 1, ... 1)$ после $(1, \ 1 ...\ 2 \ a-2, \ a, \ a, \ 1, ... 1)$ так же произведя операцию и вычитывая $a+1>0$ значит из $x=2000$ до $x=1$ сумма будет монотонна возрастать по максимальным для каждого набора, достигая максимума в $x=3$.

Ответ $667^3$