Математикадан республикалық олимпиада, 2001-2002 оқу жылы, 11 сынып

$A=\left( {{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{n}} \right)$ бүтін сандарының тізбегі берілген. $m$ арқылы ${{a}_{j}}={{a}_{i}}+1$ және ${{a}_{k}}={{a}_{j}}+1$ шарттарын қанағаттандыратын $\left( {{a}_{i}},{{a}_{j}},{{a}_{k}} \right)$ үштіктерінің санын белгілейік, мұндағы $1\le i\le j\le k\le 2001$. $m$-ның максимал мүмкін болатын мәнін анықтаңдар.

Комментарий/решение

Так как числа $i,j,k$ расположены строго по возрастанию и $a_{j}=a_{i}+1, a_{k}=a_{i}+2$ то задача сводится к тому что требуется разбить число $2001$ на $n$ количество ненулевых слагаемых и найти максимальную сумму всех "троичных" произведений взятых последовательно, к примеру для числа $12=2+3+3+4$ равна $S=2 \cdot 3 \cdot 3 + 3 \cdot 3 \cdot 4 $.

Для $x=3$ слагаемых , пусть $a+b+c=2001$ откуда $ab(2001-a-b) \leq ab(2001-2\sqrt{ab}) =t^2(2001-2t) \leq 667^3$ при $t=667$, докажем что для $x \geq 4 $ слагаемых $S$ будет меньше, пусть $(1, \ 1 ,\ 1 ... \ a, \ a, \ a, \ 1, ... 1)$ где числа, количество слагаемых на которые разделили число $2001$, возьмем другое с увеличенной на $1$ набор $(1, \ 1 ,\ 1 ... \ a, \ a, \ a, \ 1, ... 1, 1)$ тогда произведя операцию умножения и вычитывая первое от второго получаем $a(a+1)>0$, теперь внутри некоторого набора увеличим ближайшее слагаемое $(1, \ 1...\ 1 \ a-1, \ a, \ a, \ 1, ... 1)$ после $(1, \ 1 ...\ 2 \ a-2, \ a, \ a, \ 1, ... 1)$ так же произведя операцию и вычитывая $a+1>0$ значит из $x=2000$ до $x=1$ сумма будет монотонна возрастать по максимальным для каждого набора, достигая максимума в $x=3$.

Ответ $667^3$