Математикадан республикалық олимпиада, 2001-2002 оқу жылы, 11 сынып
Комментарий/решение:
Так как числа i,j,k расположены строго по возрастанию и aj=ai+1,ak=ai+2 то задача сводится к тому что требуется разбить число 2001 на n количество ненулевых слагаемых и найти максимальную сумму всех "троичных" произведений взятых последовательно, к примеру для числа 12=2+3+3+4 равна S=2⋅3⋅3+3⋅3⋅4.
Для x=3 слагаемых , пусть a+b+c=2001 откуда ab(2001−a−b)≤ab(2001−2√ab)=t2(2001−2t)≤6673 при t=667, докажем что для x≥4 слагаемых S будет меньше, пусть (1, 1, 1... a, a, a, 1,...1) где числа, количество слагаемых на которые разделили число 2001, возьмем другое с увеличенной на 1 набор (1, 1, 1... a, a, a, 1,...1,1) тогда произведя операцию умножения и вычитывая первое от второго получаем a(a+1)>0, теперь внутри некоторого набора увеличим ближайшее слагаемое (1, 1... 1 a−1, a, a, 1,...1) после (1, 1... 2 a−2, a, a, 1,...1) так же произведя операцию и вычитывая a+1>0 значит из x=2000 до x=1 сумма будет монотонна возрастать по максимальным для каждого набора, достигая максимума в x=3.
Ответ 6673
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.