Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан республикалық олимпиада, 2001-2002 оқу жылы, 11 сынып


Коэффициенттері нақты және P(x2)=P(x)P(x1) теңдігін қанағаттандыратын барлық P(x) көпмүшеліктерін табыңдар.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   3
5 года 10 месяца назад #

Очевидные решения

P(x)0,  P(x)1

Если принять P(x)=axn+bxn1+...+c тогда из того что P(x2)=P(x)P(x+1) очевидно следует что a=1 так как при раскрытии скобок и приравнивании к соответствующим коэффициентам получаем a2=a или a=1, отметим так же что коэффициенты при n>2 учитывая a=1 будут определятся однозначно в система уравнение соответствующих коэффициентов, откуда получаем c будет определяться n различными способами в которых все коэффициенты заранее известны, значит надо рассмотреть n=1,2 .

Для n=2 система

{2b+2=0,,b2+3b+2c2+1=1,2bc+b+2c=b,c2+bc+c=c откуда b=1,c=0 для n=1 очевидно не подходит.

Ответ P(x)=x2x значит и P(x)=(x2x)n так же есть решение.

  0
5 года 10 месяца назад #

P(x)=(x2x)n, n1

P(x)0

P(x)1

Также являются решениями.

  2
5 года 10 месяца назад #

Да, спасибо.