Математикадан республикалық олимпиада, 2001-2002 оқу жылы, 11 сынып
Коэффициенттері нақты және P(x2)=P(x)P(x−1) теңдігін қанағаттандыратын барлық P(x) көпмүшеліктерін табыңдар.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Очевидные решения
P(x)≡0, P(x)≡1
Если принять P(x)=axn+bxn−1+...+c тогда из того что P(x2)=P(x)P(x+1) очевидно следует что a=1 так как при раскрытии скобок и приравнивании к соответствующим коэффициентам получаем a2=a или a=1, отметим так же что коэффициенты при n>2 учитывая a=1 будут определятся однозначно в система уравнение соответствующих коэффициентов, откуда получаем c будет определяться n различными способами в которых все коэффициенты заранее известны, значит надо рассмотреть n=1,2 .
Для n=2 система
{2b+2=0,,b2+3b+2c2+1=1,2bc+b+2c=b,c2+bc+c=c откуда b=−1,c=0 для n=1 очевидно не подходит.
Ответ P(x)=x2−x значит и P(x)=(x2−x)n так же есть решение.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.