Республиканская олимпиада по математике, 2002 год, 11 класс

Найдите все многочлены $P(x)$ с вещественными коэффициентами, удовлетворяющие тождеству $P(x^2)=P(x)P(x+1)$.

Комментарий/решение

Очевидные решения

$P(x) \equiv 0, \ \ P(x) \equiv 1 $

Если принять $P(x)=ax^n+bx^{n-1}+...+c$ тогда из того что $P(x^2)=P(x)P(x+1)$ очевидно следует что $a=1$ так как при раскрытии скобок и приравнивании к соответствующим коэффициентам получаем $a^2=a$ или $a=1$, отметим так же что коэффициенты при $n>2$ учитывая $a=1$ будут определятся однозначно в система уравнение соответствующих коэффициентов, откуда получаем $c$ будет определяться $n$ различными способами в которых все коэффициенты заранее известны, значит надо рассмотреть $n=1,2$ .

Для $n=2$ система

$\left\{ \begin{gathered} 2b+2=0, ,\\ b^2+3b+2c^2+1=1, \\ 2bc+b+2c=b, \\ c^2+bc+c=c \\ \end{gathered} \right.$ откуда $b=-1,c=0$ для $n=1$ очевидно не подходит.

Ответ $P(x)=x^2-x$ значит и $P(x)=(x^2-x)^n$ так же есть решение.

$P(x)=(x^2-x)^n$, $n \geq 1$

$P(x) \equiv 0$

$P(x) \equiv 1$

Также являются решениями.

Да, спасибо.