Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2002 год, 11 класс


На плоскости дан остроугольный треугольник ABC. Пусть A1 и B1 — основания высот опущенных из вершин A и B соответственно. Касательные в точках A1 и B1, проведенные к окружности описанной около треугольника CA1B1 пересекаются в точке M. Докажите, что окружности, описанные около треугольников AMB1, BMA1 и CA1B1имеют общую точку.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 5   -1
5 года 6 месяца назад #

BAA1=90ABC с другой стороны (lA1,AA1)=B1CH=90ABC ( H - ортоцентр), аналогично и с другой касательной, откуда M середина AB ( MA1,MB1 как медианы в прямоугольных треугольниках).

Пусть D точка пересечения окружности CB1A1 и CM тогда A1DC=A1B1C=ABC аналогично и B1DC=B1A1C=BAC то есть D есть точка пересечения всех трёх окружностей.

  1
5 года 6 месяца назад #

Пусть AA1 и BB1 будут касательными. Тогда M лежит на описанной окружности треугольника A1B1C (Так как углы MB1C и MA1C равны 90) .Что невозможно.