Республиканская олимпиада по математике, 2002 год, 11 класс
На плоскости дан остроугольный треугольник ABC. Пусть A1 и B1 — основания высот опущенных из вершин A и B соответственно. Касательные в точках A1 и B1, проведенные к окружности описанной около треугольника CA1B1 пересекаются в точке M. Докажите, что окружности, описанные около треугольников AMB1, BMA1 и CA1B1имеют общую точку.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
∠BAA1=90∘−∠ABC с другой стороны ∠(lA1,AA1)=B1CH=90∘−∠ABC ( H - ортоцентр), аналогично и с другой касательной, откуда M середина AB ( MA1,MB1 как медианы в прямоугольных треугольниках).
Пусть D точка пересечения окружности CB1A1 и CM тогда ∠A1DC=∠A1B1C=∠ABC аналогично и ∠B1DC=∠B1A1C=∠BAC то есть D есть точка пересечения всех трёх окружностей.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.